* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

СФЕРИЧЕСКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 531 Будем называть сферический треугольник А'В'С полярным по от­ ношению к сферическому треугольнику ABC. Если сферический треугольник А'В'С является полярным по отношению к сферическому треугольнику АБС, то и сферический треугольник ABC полярен по отношению к сферическому треу­ гольнику А'В'С В самом деле, так как точка В' является полю­ сом стороны АС, то точка В' полярно сопряжена с точками А и С (рис. 25). Так как точка С является полюсом стороны АВ, то точка С полярно сопряжена с точками А и В. Но так как точка А по­ лярно сопряжена с точками В' и С стороны В'С, то она явля­ ется полюсом стороны В'С. При этом, так как точки А и А' ле­ жат по одну сторону от стороны ВС, то они лежат и по одну сто­ рону от стороны В'С Так же доказывается, что точки В и С тоже являются полюсами сторон С А' и А'В' и лежат по ту же сторону от этих сторон, что и точки В ' и С*, т. е. сферический треуголь­ ник ABC полярен по отношению к сферическому треугольнику А'В'С. Обозначим точки пересечения больших окружностей АВ и АС со стороной В'С через L и М, точки пересечения больших окруж­ ностей ВС и ВА со стороной А С через N и Р и точки пересече­ ния больших окружностей СА и СВ со стороной А'В' через Q и R (рис. 25). Тогда, если величины углов CAB, ABC и ВСА обозначить через Л, В и С, а радиус сферы — через г, то дуги больших окруж­ ностей LM, NP и QR соответственно равны Аг, Вг, Сг. Далее, так как дуги В'М, LC, CP, NA\ A'R, QB' соединяют полярно соп­ ряженные точки, то они р а в н ы г . Поэтому, если все три угла 9 4,B,Gs£ то дуги B'L и МС', CN и PA', A'Q и ЯВ*, допол­ — A^r и t няющие дуги Аг, Вг, Сг до у г, соответственно равны ^ (-j— в) г, (у— с) г. Таким образом, стороны В ' С , С А' А'В' полярного треугольника в этом случае равны ( я — А ) г , ( я — В ) г , ( я — С) г. Тог же результат совершенно аналогично доказывается и для случаев, когда углы Л,В или С больше . Поэтому стороны треугольника, полярного по отношению к сферическому треу­ гольнику ABC, соответственно равны ( я — А) г, ( л — В ) г, ( я — С ) г. Отсюда, если мы обозначим эти стороны через а\ Ъ', с', мы полуа* Ь* с' чим, что А = л——, В = я — — , С = п—- , т. е. углы треуголь­ ника, полярного по отношению к сферическому треугольнику со сто¬ / ./ / а* Ъ' с* ронами а , Ь , с , соответственно равны я — —, я — - , я — — . Сферический треугольник, совпадающий со своим полярным треу­ гольником, называется автополярным треугольником (от греческого 34*