* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КАСАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ОКРУЖНОСТЕЙ 515 направленными. Если эти окружности нерконачальни были ненаправленными, го мы зададим их направления произвольно. Раз­ личный выбор направлений этих окружностей даст нам разные реше­ ния задачи Аполлония ' ) . Искомая окружность Л преобразованием Л (скажем, расширением) переводился в окружность S\ касающуюся окружностей S и 5, и проходящую через точку 5,. Произведем теперь точечное круговое преобразование, переводящее точку S, в «несобственную» точку £2, скажем, инверсию I с центром 8 . При этом окружности & и 5, перейдут в какие-го окружности Л' и 5 , а искомая окружность S' — t Л ? в iff t " ч* * 9 в прямую Л , касающуюся окружностей S и S . Таким образом, касательное круговое преобразование К, представляющее собой нос л едока гель нос гь двух преобразований — осевого кругового преоб­ разования (расширения) Л и точечного кругового преобразования (инверсии) I , — п е р е в о д и т окружности S S и S в «несобственную» точку И и в две окружности S и S \ искомую окружность Л" каса­ тельное круговое преобразование К переводит в прямую S" касаю¬ щуюся окружностей S н S . Зная окружности S* и «S„ ягу прямую S" нетрудно построить; затем от прямой S" легко перейти к окруж­ ности S' и, наконец, к искомой окружности S. В зависимости ог расположения и направлений окружностей S и 5 задача может иметь два решения (именно этот случай изображен на рис. 50), одно решение или ни одного решения. 12.3. Понятие о касательной геометрии окружностей. Изуче­ ние таких свойств фигур, которые сохраняются при касательных круговых преобразованиях, составляет предмет касательной геомет­ рии окружностей ). Доказанное выше позволяет утверждать, что касательная геометрия окружностей изучает свойства фигур, сохраняюищеся как при точечных, так и при осевых круговых преобразованиях, и только эти свойства. В этой геометрии уже не имеет смысла ни понятие угла между окружностями, ни понятие касательного расстояния; нетрудно показать лаже, что здесь нельзя указать никакого аналога этих понятий, поскольку любую пару ок­ ружностей можно перевести соответственно подобранным касатель­ ным круговым преобразованием в любую другую пару окружностей. 9 t b z 9 2 г 2 ) Ниже мы увидим, что если окружности 5„ 5 ц S направленные, то задача Аполлония может иметь до двух решений. Направление трех ненаправленных окружностей можно выбрать 2-2-2 = 8 разными способами; это приводит к 16 различным окружностям S. Но эти 16 направленных окружностей попарно отличаются одна от другой только направлением. Таким образом, мы заключаем, что в случае ненаправленных окружностей 2 3 1 наибольшее возможное число решений задачи 2 Аполлония равно восьми ) Элементы эт~й геометрии содержатся в книге Б л я ш к е [7], на кото­ рую мы уже неоднократно ссылались. зз*