* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

512 1 ОКРУЖНОСТИ э л е м е н т (А\ а') ). С нашей новой точки зрения точечные и осевые круговые преобразования можно характеризовать как такие касатель­ ные круговые преобразования, которые переводят точки снова в т о ч к и , с о о т в е т с т в е н н о переводят прямые в прямые. О д н а к о с у щ е с т в у ю т также касательные круговые преобразования, которые не сохраняют ни точек, ни прямых; к такому преобразованию мы придем, например, е с л и произведем подряд несколько точечных и осевых круговых преобразований (скажем, сначала т о ч е ч н у ю , а з а т е м о с е в у ю инверсию). Оказывается, что э т о т прием получения касательных круговых пре­ образований имеет общий характер, т. е. что всякое касательное круговое преобразование можно тельности нескольких точечных ваний ) . 2 представить в виде и осевых круговых последова­ преобразо­ Сначала предположим, что касательное круговое преобразование М, переводит в себя некоторую точку А. Произведем теперь последовательно (точечную) инверсию I с центром А, преобразование М, и еще одну инвер­ сию I ; полученное таким образом преобразование мы обозначим через Л. Прямую а инверсия I переводит в окружность S, проходящую через точку А (окружность, «касающуюся окружности нулевого радиуса А»)\ преоб­ разование M переводит S в другую окружность также проходящую через А (ибо М„ по предположению, переводит А в себя); наконец, I пе­ реводит S' в другую прямую а' Таким образом, мы оидим, что преобра­ зование Л—последовательность преобразований I , М, и I—переводит каж­ дую прямую линию снова в прямую линию и, значит, является осевым кру­ говым преобразованием (обыкновенной или особой осевой инверсией, сопро­ вождаемой еще, быть может, преобразованием подобия). Последователь ность же инверсии I , осевого кругового преобразования Л и снова инвер­ сии Г совпадает с последовательностью двух преобразований I , исходного касательного кругового преобразования М, и еще двух инверсий [, т. е. совпадает с преобразованием М, (ибо две последовательные инверсии I , очевидно, взаимно уничтожаются); этим и доказывается, что М, можно представить в виде последовательности трех преобразований 1, Л u 1. t Рассмотрим теперь произвольное касательное круговое преобразование М. Если М переводит все точки снова в точки, то оно, как мы уже знаем, сводится к (точечной) инверсии. Предположим теперь, что М переводит ') Точечная инверсия с центром О и степенью k представляет собой ка­ сательное круговое преобразование, переводящее каждый линейный эле­ мент (А, а) в линейный элемент (А\ а'), где А и А' лежат на-одной пря­ мой от с центром О инверсии, OA-OA' = k и s j ( m , а) =<$(<*', т)\ последнее условие указывает также, как следует направить а'\ если считать прямую а направленной. Осевая инверсия с осью о и степенью k переводит друг в друга линейные элементы {А, а) и {А', а'), где а и а' пересекаются в точке Л1 оси о, tg ^ * *6 sT.(o> Q и ДМ—МА* Столь же просто указать, как преобразуют произвольный линейный элемент (А, а) особые точечная и осевая инверсии; мы предоставляем это сделать читателю. ) Используя терминологию статьи «Г. П.», можно сказать, что каждое касательное круговое преобразование представляет собой произведение нескольких точечных и осевых круговых преобразований. 2