* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОСЕВАЯ ИНВЕРСИЯ 501 даем, что рассматриваемая осевая инверсия переводит окружность 5 в S' Для доказательства заметим, что точка /И, пересечения касательных л и л , окружности S параллельных касательным а и а© направляющей окружности S принадлежит прямой о , расположенной по отношению к 5 точно так же, как прямая о—по отношению к S (т. е. такой, что о \\о и 0 P :OP~г :г, где Р—основание перпендикуляра, опущен­ ного из О на о ); это вытекает из того, что фигура, образованная окружностью 5 и ее касательными я , a подобна фигуре, обраэованной окружностью S и касательными а , а . Далее, прямая А 4 , , соединяющая точки соприкосновения прямых аи а с окружностью 5, проходит через точку Q (это следует из тех же соображений подо­ бия). Касательная а' окружности S' в точке А' пересечения прямой QA с S' параллельна а (ибо Q есть центр подобия окружностей S и рис. 40); далее точка М пересечения прямых а я а' лежит на радикальной оси о окружностей S и S' (ибо МА —МА\ так как треугольники М АА и МАА' подобны, а М А = М А (рис. 40)). Но то, что касательные а и а' окружностей S и S\ параллельные касательным а и а окружности S , пересекаются на прямой о, и доказывает наше утверждение (см. определение осевой инверсии, стр. 499). Б. Невырожденная осевая инверсия сохраняет касательное рас­ стояние окружностей. Точнее, если А и A —точки соприкосновения двух окружностей S и 5 ограниченного радиуса с их общей каса¬ тельной г, и А , А — точки соприкосновения окружностей 5, и 5 , в которые переводит £, и S невырожденная инверсия, с прямой г*', в которую эта инверсия переводит прямую г, то t ь 01 х 0 1 Q fi 0 х v 0 0 0 х X х Х Х Х Х Х 0 0 Q х t x 2 х г 2 t АА ( 2 •— i4 i4|. 2 Прежде всего очевидно, что если особая осевая инверсия пере­ водит две окружности ограниченного радиуса S, и 5 в окружности 8 «S, и то касательные расстояния А А ' х г г 7 % t г % 7 х г и АА Х 2 этих пар окруж- 7 ностей таковы, что А А = —А А =А А (ибо при расширении каса­ тельное расстояние двух окружностей не меняется, а при переори­ ентации оно меняет" знак); таким образом, надо только показать, что обыкновенная инверсия обладает свойством Б. Заметим далее, что если МА и МА' суть касательные расстояния точки М оси о инверсии и двух окружностей * и S\ переходящих одна в другую при ин­ S версии, то МА = А М; Г это следует из того, что о есть радикальная ось окружностей S и S' (рис. 40). Тем самым мы доказали наше утверждение для того слу­ чая, когда одной из двух окружностей является точка М оси о