* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАПРАВЛЕННЫЕ ОКРУЖНОСТИ 479 переводит друг в друга неравные окружности. Напротив, угол между окружностями играет в круговой геометрии такую же роль, как и в обычной, поскольку он сохраняется при любом круговом преобразо­ вании (см. стр. 474). Мы не имеем никакой возможности входить здесь в обсуждение подробностей круговой геометрии, которой в специальной математи­ ческой литературе посвящен целый ряд весьма обстоятельных сочи­ нений (из них в списке литературы в конце статьи упомянута лишь книга Бляшке [8]). Отметим только, что понятия пучка и связки окружностей играют в круговой геометрии весьма существенную роль; эти понятия имеют здесь смысл, так как всякое круговое преобра­ зование переводит пучок окружностей снова в пучок окружностей и связку окружностей — в связку )* 1 Б. ОКРУЖНОСТЬ КАК СОВОКУПНОСТЬ ПРЯМЫХ § 6. Направленные окружности 6.1. Аналогия между свойствами точек и прямых. Значительную роль в геометрии играет то обстоятельство, что свойства точек во многом напоминают свойства прямых линий *). Так, например, точку можно задать двумя (проходящими через эту точку) прямыми, а пря­ мую—двумя (лежащими на этой прямой) точками; точки прямой, заключенные между двумя данными точками Л и б , образуют отрезок AB а проходящие через точку прямые, заключенные между двумя данными прямыми а и — угол ^_(а, Ь) (близость между понятиями отрезка и угла хорошо иллюстрируется сказанным в п. 1.1); через три вершины треугольника проходит окружность («описанная» окруж­ ность треугольника), и трех сторон треугольника касается окруж­ ность («вписанная» окружность треугольника) и т. д. Цель настоящего раздела состоит в том, чтобы показать, как далеко заходит этот параллелизм. В разделе А мы всюду рассматривали окружность как совокуп­ ность точек; такой подход является привычным и для школьного курса геометрии. В противоположность этому теперь мы будем смотреть на окружность как на совокупность п р я м ы х , касатель­ ных к этой окружности; другими словами, под окружностью S мы t ) Из того, что пучок окружностей можно определить как совокуп­ ность всех окружностей, перпендикулярных двум данным, сразу следует, что инверсия переводит пучок окружностей снова в пучок (ибо перпенди­ кулярные окружности при инверсии переходят в перпендикулярные). То, что связка при инверсии переходит в связку, несколько менее оче­ видно; доказательство этого составляет несложную, но содержательную задачу, которую мы предлагаем читателю решить самостоятельно. ) По этому поводу ср. стр. 130—133. 2 1