* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

468 ОКРУЖНОСТИ осью которого служит перпендикуляр, опущенный из О на 5 (это вытекает из того, что центры всех окружностей конечного радиуса, принадлежащих пересечению связок, лежат на д, и что точка О имеет равные степени относительно каждых двух из этих окружно­ стей); пересечение же двух собственных связок с разными центрами О и 0 образует пучок с радикальной осью О О (для доказатель­ ства достаточно заметить, что, поскольку обе точки О и 0 имеют одинаковые степени относительно любых двух окружностей конечного радиуса, одновременно принадлежащих обеим связкам, то радикаль­ ной осью этих двух окружностей является прямая О О ). х 2 х г х 2 х г § 4. Инверсия 4 . 1 . Определение инверсии. Рассмотрим некоторую фиксирован­ ную связку окружностей и выберем все те окружности этой связки, ко­ торые проходят через определенную точку А плоскости. Эти окружности принадлежат пересечению двух связок — выбранной связки и связки окружностей, проходящих через точку А; согласно сказанному выше (стр. 467) они образуют пучок окружностей (мы здесь исключаем из рассмотрения тот случай, когда первая связка имеет центр А и степень 0, и потому все ее окружности проходят через А). Оче­ видно, что если первая связка есть связка всех прямых плоскости или если точка А совпадает с центром выбранной связки, то полу­ ченный пучок есть пучок пересекающихся прямых; во всех осталь­ ных случаях это есть пучок окружностей, пересекающихся в двух точках А и А', или пучок касающихся окружностей (так как все окружности пучка проходят через одну точку А> то мы не можем прийти к пучку непересекающихся или концентрических окружно­ стей). Таким образом, выбор на плоскости определенной связки окружностей (отличной от связки всех прямых) позволяет опре­ делить некоторое отображение плоскости, сопоставляющее с каж­ дой отличной от центра О связки точкой А плоскости вторую точку А' пересечения окружностей связки, проходящих через точку А (если все эти окружности к а с а ю т с я в точке А, то мы будем считать, что наше отображение переводит точку А саму в себя) )- Это отображение мы будем называть точечной инверсией vim просто инверсией, отвечающей нашей связке. При этом инвер­ сия, отвечающая связке окружностей с центрами на прямой 5 и перпендикулярных s прямых, называется особой; инверсия, отвечаю­ щая связке пересекающихся в одной точке окружностей,—вырож­ денной; во всех же остальных случаях мы имеем обыкновенную 1 ) Относительно геометрических отображений см. статью сГеометрические преобразования» (^последствии эту статью мы будем цитировать как «Г. П.»), стр. 51. 1