* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

440 МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ 4.4. Равногранно полуправильные многогранники. Двойствен­ ным понятию топологически равноугольно полуправильного много­ гранника является понятие топологическтгравногранно полу правильного многогранника: многогранник называется топологически равногранно полу правильным, если звезды всех его граней изоморфны между собой. Пересчитать все топологически равногранно полуправильные многогранники можно тем же путем, каким были пересчитаны в п. 4.3 все топологически равноугольно полуправильные многогранники. Однако принцип двойственности (см. п. 2.4) позволяет, не повторяя всех рассуждений предыдущего пункта, сразу воспользоваться их результатами. Каждому топологически равноугольно полуправильному многограннику соответствует двойственный ему топологически равно­ гранно полуправильный многогранник и наоборот. Следовательно, существует четырнадцать различных (не изоморфных между собой) топологически равногранно полуправильных многогранников и еще две бесконечные серии таких многогранников (не считая топологи­ чески правильных). Основные характеристики этих типов многогран­ ников легко получить на основе соображений двойственности из данных, приведенных в таблице 3 для архимедовых многогранников. Многогранник называется (метрически) равногранно полупра­ вильным, если все его грани равны между собой, а все его много­ гранные углы правильные. Как и ранее, в каждом из классов топо­ логически равногранно полуправильных многогранников существуют метрически равногранно полуправильные многогранники, но в отличие от предыдущих случаев они, вообще говоря, н е п о д о б н ы между собой, так как форма их граней не определяется топологическим типом и требованием метрической полуправильности. Все равногранно полуправильные многогранники изображены на рис. 57, а—р в том же порядке, в котором на рис. 54, а—р были изображены двойственные им архимедовы многогранники. 4.5. Правильные самопересекающиеся многогранники. Если, говоря о правильных многоугольниках, отказываться от требования, чтобы они были п р о с т ы м и , то мы получим, кроме уже рассмат­ ривавшихся ранее, также самопересекающиеся, или звездчатые пра­ вильные многоугольники. Пример такого многоугольника — правиль­ ный звездчатый пятиугольник—изображен на рис. 58. Нетрудно показать (мы не будем на этом останавливаться), что стороны звездчатого правильного многоугольника М всегда являются диагоналями некоторого простого правильного многоугольника М , стягивающими одно и то же число его сторон. Поэтому для по­ строения правильного /z-угольника обыкновенно строят простой пра­ вильный /z-угольник и проводят все его диагонали, стягивающие по х k сторон, где 1 < k < . Если число k взаимно просто с л, то при