* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ 441 этом получается некоторый правильный звездчатый л-угольник; если же k не взаимно просто с л, то получается несколько отдельных ломаных—так называемый распадающийся многоугольник (см. рис. 59, где изображен случай п = 6, k = 2, в котором получаются два тре­ угольника). Таким образом, для каждого п существует столько раз­ личных (не подобных между собой) правиль­ ных звездчатых л-угольников, сколько имеется целых чисел, заключенных 1 между 1 и ~ , взаимно простых с п ): правильный звездча­ тый пятиугольник существует только один (рис. 58), правильных звездачатых семиуголь­ ников— два (рис. 60 а, б), правильных звездча­ тых треугольников, четырехугольников и шести­ угольников не существует вовсе. Правильные звездчатые многоугольники Рис. 5а. можно получить и иначе. Прямые, на которых лежат стороны любого такого л-угольника Ж, делят всю плоскость на некоторое число частей, одна из которых, называемая ядром данного л-угольника М представляет собой про­ стой правильный л-угольник М . Поэтому любой звездчатый правиль­ ный л-угольник М может быть получен из простого правильного л-угольника М продолжением каждой его стороны до пересечения со сторонами, отделяемыми от нее одним и тем же числом k—1 у 0 0 Рис. 59. никами Пуансо. многогранники *). сторон ^ 1 < k < ~ j ; при этом, как и вы­ ше, если k не взаимно просто с л , мы получаем распадающийся многоугольник. Перейдем теперь к многогранникам. Если в определении правильного многогранника не требовать, чтобы он был простым, мы получим, кроме уже рассмотренных в п. 4.2 Платоновых многогранников, также самопере­ секающиеся, или звездчатые правильные многогранники, называемые еще многогран­ Укажем* в общих чертах, как можно найти все такие ') Таким образом, число различных правильных звездчатых л-уголь1 ников может быть записано в виде -g-fpfn), где <р(л) есть употребляемая в теории чисел ф у н к ц и я Э й л е р а (см. в кн. I ЭЭМ статью «Элементы теории чисел», стр. 280—282). ) С более подробным изложением этого вопроса читатель может озна­ комиться по книге Д . О. Ш к л я р с к о г о, Н. И. Ч е н ц о в а, И. М. Я г л о м а [5], указанной в конце статьи. 2