* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРАВИЛЬНЫЕ многоугольники И МНОГОГРАННИКИ 423 рис. 40, о, есть абстрактный многогранник. По теореме Штейница он может быть реализован в виде выпуклого многогранника (рис. 41); это и есть искомый топологически правильный многогранник (он пред­ ставляет собой четырехугольную бипирзмиду, называемую также ок­ таэдром)', в соответствии с данными второй строки нашей таблицы этот многогранник имеет 12 ребер, 6 вершин и 8 граней. Как мы видели, схема, изображенная на рис. 40, в, однозначно определяется значениями л = 3, 5 = 4. Следовательно, нами доказано не только существование требуемого много­ гранника, но и его е д и н с т в е н н о с т ь (с точ­ ностью до изоморфизма). Такое же рассуждение может быть проведено Рис. 41. и в отношении любой другой строки таблицы 2. Первая строка этой таблицы определяет уже известный нам тэтраэдр, третья — многогранник, называемый ико­ саэдром (рис. 42), четвертая — многогранник, изоморфный четырех­ угольной призме и называемый также гексаэдром (рис. 43), пятая — многогранник, называемый додекаэдром (рис. 44). Таким образом мы приходим к следующему выводу. Т е о р е м а . Существует пять различных [не изоморфных между собой) типов топологически правильных многогранников: тетра­ эдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Рис. 42. Рис. 43. Рис. 44. Возвращаясь к определению топологически правильного многогран­ ника, отметим, что понятия грани и вершины фигурируют в нем совершенно симметрично; это означает, что многогранник, двойствен­ ный (см. выше, п. 2.4) топологически правильному многограннику, также является топологически правильным. Отсюда следует, что для каждого топологически правильного многогранника суще­ ствует двойственный ему топологически правильный многогран­ ник. Из таблицы 2 видно, что октаэдр двойствен гексаэдру, а додекаэдр—икосаэдру; тетраэдр же двойствен самому себе.