* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

424 МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ 4.2. Правильные многоугольники и многогранники. Простой многоугольник называется правильным или метрически правильным, если все его стороны равны между собой, и все углы равны между собой (рис. 45). Общеизвестно, что для любого п^З существует один и только один (с точностью до подобия) правильный л-угольник. Чтобы построить его, достаточно разделить какую-нибудь ок­ ружность на п равных частей и соединить последовательно точки деления. Многогранный угол называется правильным, если все его линей­ ные углы равны между собой и все двугранные углы равны между собой. Простой многогранник называется правильным (точнее—метри­ чески правильным^, если все его грани являются правильными мно­ гоугольниками, а все многогранные углы — равными правильными многогранными угла­ ми. Правильные многогранники называют также П л а т о н о в ы м и м н о г о г р а н н и ­ к а м и . Нетрудно показать, что все такие многогранники являются выпуклыми. Каждый правильный многогранник является, очевидно, и топологически пра­ вильным. Поэтому не изоморфных между собой правильных многогранников, в отли­ чие от многоугольников, может суще­ ствовать не больше пяти. Покажем, что их существует ровно пять (т. е. что в каждом классе топологически правильных многогранников имеются метрически правильные много­ гранники) и что любой правильный многогранник будет не только изоморфен, но даже подобен одному из этих пяти. Зная топологический тип правильного многогранника, мы можем построить его схему—так, как сделали это в предыдущем пункте (см. рис. 40, в) на примере октаэдра. Если в качестве граней на этой схеме брать равные правильные многоугольники, то эта схема представит собой р а з в е р т к у искомого многогранника. Таким образом, развертка правильного многогранника определяется его топологическим типом однозначно, если не учитывать лишь произ­ вола при выборе длины ребра. Но при данной длине ребра развертка в силу теоремы Коши определяет искомый многогранник однозначно с точностью до положения в пространстве; поэтому, беря ребра разной длины, мы будем получать подобные между собой многогран­ ники. Таким образом, если правильный многогранник данного топо­ логического типа существует, то он с точностью до подобия един­ ствен. Остается показать, что метрически правильный многогранник действительно существует для каждого из пяти топологических