* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАЗВЕРТКА МНОГОГРАННИКА. ТЕОРЕМА КОШИ 417 четырех перемен знаков. Следовательно, х^4В. (5) Подсчитаем теперь общее число у перемен знаков, которое мы получим, обходя последовательно контур каждой грани сетки С. Число перемен знаков при обходе каждой грани должно быть четным; кроме того, оно не может превышать числа сторон этой грани. Сле­ довательно, для треугольной грани число перемен знаков будет не более 2, для четырехугольной грани—не более 4, для пятиугольной грани—снова не более 4, для шестиугольной грани — не более 6, для семиугольной грани — снова не более 6 и т. д. Таким образом, если обозначить число треугольных, четырехугольных, пятиугольных и т. д. граней сетки С соответственно через Г , Г , Г , . . т о будем иметь ^ 2 Г , + 4 Г + 4Г + 6Г, + 6 Г + . . . (6) в 4 в 4 5 ? Но, очевидно, общее число перемен знаков не зависит от того, будем ли мы его подсчитывать по вершинам или по граням сетки С: два ребра, являющихся соседними при обходе некоторой вершины, будут соседними также и при обходе некоторой грани, а потому будут одновременно давать или не давать нам одну перемену знака при обоих способах подсчета. Таким образом, х=у, и, сравнивая неравенства (5) и (6), получаем 4В^ 2Г + 4 Г + 4 Г . + 6 Г + 6 Г + . . . г 4 в 7 (7) Покажем теперь, что это последнее неравенство противоречит теореме Эйлера. Действительно, согласно следствию из теоремы Эйлера (стр. 399) мы имеем для сетки С соотношение В+Г—Я^2, т. е. 4SS5 8 + 4P— 4Г. Но, очевидно, Г=Г 9 (8) (9) + Г + Г + Г +... Л 9 Я к Выразим и число Р через числа Г . Для этого пересчитаем ребра сетки С, подсчитывая стороны сначала всех треугольных граней, затем всех четырехугольных граней, затем пятиугольных и т. д. Всего мы насчитаем таким образом З Г + 4 Г + 5 Г + • • • ребер, однако при этом каждое ребро будет подсчитано дважды (так как оно принадлежит двум граням). Следовательно, в 4 в 2Р= З Г , + 4 Г + 5 Г + 6 Г + . . . 4 $ в (10) Учитывая соотношения (9) и (10), неравенство (8) можно перепи­ сать в виде 4 Я ^ 8 + 2Г, 4 Г + 6 / - 8 Г - | - . . . (11) + 4 в Т в 27 Энциклопедия, кн. 4