* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

416 МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ изменяет свою величину. Отметим ребро этого двугранного угла знаком «лл/ос» или «минус», смотря по тому, увеличивается или уменьшается в результате нашей деформации двугранный угол при этом ребре. Тогда при последовательном обходе ребер много­ гранного угла мы будем иметь не менее четырех перемен знаков. Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем сферу произвольного радиуса с центром в вершине данного многогранного угла. В пересечении этой сферы с многогранным углом мы получим сферический многоугольник (рис. 36), каждая сторона которого будет измеряться соответствую­ щим плоским углом многогранного угла, а каждый угол—двугранным углом многогранного угла. Деформации много­ гранного угла будет отвечать деформация сферического многоугольника; теперь лемма 3 непосредственно вытекает из леммы 2. 3.3. Доказательство теоремы Коши. Пусть нам даны два изоморфных выпуклых многогранника М и М\ соответствующие грани которых равны. Мы должны показать, что все двугранные углы одного из этих многогранников также равны соответствую­ щим углам другого. Предположим, что среди соответствующих двугранных углов данных многогранников име­ ются неравные. Отметим каждое ребро много­ гранника М двугранный угол при котором больше соответствующего двугранного угла многогранника М\ знаком «плюс», а каждое ребро, двугранный угол при котором меньше соответствующего двугранного угла,—знаком «минус»; те ребра, двугранные углы при которых равны соответствующим им углам, мы оставляем неотмеченными. По нашему предположению, у многогранника М имеются отмеченные ребра; к каждой вершине, к которой примыкает какое-нибудь отмеченное ребро, в силу леммы 3 должны примыкать еще по меньшей мере три таких ребра. Отмеченные ребра образуют на поверхности многогранника М неко­ торую сетку С, делящую эту поверхность на несколько областей ). Ребрами этой сетки будут отмеченные ребра многогранника M а вершинами — те из вершин многогранника М, к которым примыкает хотя бы по одному отмеченному ребру. Обозначим число вершин, граней и ребер, определяемых сеткой С, соответственно через В Г и Р . Подсчитаем общее число х перемен знаков, которое мы получим, обходя последовательно ребра, примы­ кающие к одной вершине сетки С, затем к другой, затем к третьей и т. д. В силу леммы 3 при каждой вершине будет не менее % 1 t % ') В § 1 мы рассматривали сетки на с ф е р е ; рассмотрение сеток на поверхности выпуклого многогранника ничем не отличается: достаточно спроектировать поверхность многогранника на сферу.