* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

414 Г МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ за точку А ) ; поэтому при указанном повороте проекция точки А будет перемещаться с п р а в а н а л е в о . Следовательно, точка А[ * будет лежать левее точки А . Увеличим затем до нужной величины угол А (если 3 < А ) ; для этого повернем вокруг точки Л, как жесткое целое ломаную А[ А А , или же, что равносильно этому, отрезок А А[ К Так же как и ранее, проекция точки А при этом сместится в л е в о . Поступим таким же образом с углами А л ^ . , . Затем таким же путем увеличим углы А _ . А_ — , A правой поло­ вины данной ломаной; при этом проекция вершины А может смес­ титься только в п р а в о . Наконец, увеличим угол А поворачивая вокруг точки A обе половины ломаной (левую — против часовой стрелки, а правую — по часовой стрелке) так, чтобы обе эти поло­ вины оставались выше прямой р. Х 1 Х Г 1) Г Ш 1 Л Х А % П Ъ П Ш% K+X П К 1 K В результате мы получим новую ломаную А А А причем отрезок ^ 1 ^ * соединяющий проекции ее концов, будет содержать внутри себя отрезок А А . Таким образом, А А <А' А' . Но А А = А А Х Г ПУ п Х П % П Х П Х П Х П (так как А А \\р) Ш п % а X N А\А' ^А А . П Х П Г Т Следовательно, A A < А А и лемма 1 доказана. Отметим, что именно в до­ казательстве Коши леммы 1 был допущен пробел, лишив­ ший необходимой полноты все данное им доказательство те^ оремы. Именно, доказательство Коши существенным образом Рис. 34. опиралось на тот факт, что, увеличивая по одному углы данной ломаной, мы п о с л е к а ж д о г о шага получаем снова выпуклую ломаную. При этом упускалось из виду, что некоторые из полученных промежуточных ломаных могут быть и невыпуклыми. О такой возможности свидетельствует пример ломаной A A A A^ изображенной на рис. 34: если каждый из ее углов A и А требу­ ется увеличить до прямого (в результате чего, очевидно, получится снова выпуклая ломаная), то, увеличив до нужной величины лишь о д и н из этих углов, мы придем к невыпуклой ломаной. Приведен­ ное выше доказательство леммы 1 никак не было связано с выпуклостью промежуточных ломаных. Л е м м а 2. Пусть выпуклый многоугольник АА ... А де­ формируется в выпуклый же многоугольник так, что длины его сторон при этом не меняются, а из углов хотя бы один изме­ няет свою величину. Отметим знаком Ч.ПЛЮСУ> вершины тех углов данного многоугольника, которые при этой деформации X A T F T Л Х Г П