* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАЗВЕРТКА МНОГОГРАННИКА. ТЕОРЕМА КОШИ 413 Т е о р е м а К о ш и . Если все грани одного из двух изоморфных выпуклых многогранников М и М равны соответствующим гра­ ням другого, то эти многогранники равны. Очевидно, дли доказательства равенства многогранников, удов­ летворяющих условию теоремы Коши, достаточно доказать равенство двугранных углов при всех их соответственных ребрах. Доказатель­ ство основывается на следующих леммах. Л е м м а 1. Если, не изменяя длин сторон (плоской) выпуклой ломаной линии A A .. .А , увеличить некоторые из ее углов так, чтобы полученная лома­ ная снова была выпуклой, то расстояние между кон­ цами этой ломаной увели­ чится. Доказательство. Для упрощения рассуждений введем некоторые вспомога­ тельные термины. Будем называть прямую А А (и любую параллельную ей) горизонтальной; на­ правление от точки А к точке А будем характери­ зовать словами «слева на­ право»; наконец, направле­ ние, перпендикулярное пря­ Рис. 33. мой А А и обращенное в ту сторону от этой прямой, с которой расположена данная ло­ маная, будем характеризовать словами «сверху вниз» (рис. 33). Через самую нижнюю вершину A данной ломаной проведем горизонтальную прямую р (таких вершин может оказаться две — A и A ; в этом случае сторона A A будет лежать на прямой р). Оче­ видно, вся ломаная А А . . . А будет лежать в полосе, заключенной между прямыми А А и р. Спроектируем вершины А и А ортогонально на прямую р и обозначим их проекции соответственно через А и А . Пусть теперь нам нужно увеличить углы ломаной А А . . . А до некоторых заранее данных величин (меньших 180°, так как полу­ ченная ломаная должна остаться выпуклой). Увеличим сначала (если 2