* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

412 МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ является разверткой никакого многогранника. В самом деле, если бы существовал многогранник с такой рэзверткой, то его ребрэ ЕА было бы перпендикулярно плоскости ABCD (так как ЕА J_ АВ и ЕА J_ AD)y откуда в силу известной теоремы о трех перпендикулярах следовало бы, что BE ]_BQ вопреки данной на развертке величине угла СВЕ. Оказывается, однако, что перечисленные вы­ ше условия I ) — 4) обеспечивают существование многогранника (и притом выпуклого), если не требовать, чтобы этот многогранник имел в точ­ ности данную развертку, а допустить объеди­ нение некоторых смежных многоугольников дан­ ной развертки в одну грань и, наоборот, раз­ биение некоторых многоугольников на нескольв ко граней (так, например, на. рис. 31 достаточно Рис. 32. разбить четырехугольник ABCD диагональю BD на два треугольника, чтобы получить развертку некоторого выпуклого многогранника; см. рис. 32). Этот факт был до­ казан в 1942 г. ленинградским математиком А. Д . А л е к с а н д р о ­ вым ). 3.2* Теорема Коши. Основные леммы. Перейдем теперь к во­ просу о е д и н с т в е н н о с т и многогранника, имеющего данную развертку. Каждому, кто клеил многогранники из разверток, из опыта известно, что по заданной развертке мы можем получить т о л ь к о о д и н выпуклый многогранник с точностью до положения в пространстве ). Этот факт был известен еще Е в к л и д у (жившему в 111 веке до нашей эры), однако первое более или менее строгое доказательство этого факта было дано лишь в 1813 г. знаменитым фран­ цузским математиком О. К о ш и . Хотя доказательство, данное Коши, содержало некоторый пробел (который будет указан ниже), замечен­ ный и восполненный позже Штейницем, теорема о единственности многогранника с данной разверткой по праву носит название теоре­ мы Коши. 1 1 ') Доказательство теоремы А. Д. Александрова совсем не элементарно, и мы не будем его приводить; читатель, желающий ознакомиться с этим доказательством, сможет найти его в указанной в конце статьи книге А. Д. А л е к с а н д р о в а [ I ] . *) Собственно говоря, из данной развертки можно получить два разных многогранника, симметричных относительно плоскости; чтобы устранить эту неопределенность, можно было бы указывать на какой-нибудь грани развертки, какая сторона ее должна принадлежать внешней, а какая— внутренней стороне поверхности многогранника. Мы далее не будем раз­ личать таких многогранников, считая, что симметричность есть частный случай равенства многогранников (хотя два таких многогранника, вообще говоря, не могут быть совмещены друг с другом перемещением в про­ странстве).