* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОМБИНАТОРНЫЙ (ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ) ТИП МНОГОГРАННИКА 403 3°. Каждая вершина абстрактного многогранника принадле­ жит не менее чем трем граням (а следовательно, и ребрам). В самом деле, в силу условия Via каждая вершина принадлежит хотя бы одному ребру, а значит (в силу условий V6 и II), по крайней мере двум граням. Но если бы некоторая вершина А принадлежала в точности двум граням, то эти грани имели бы (по условию III) два общих ребра, что противоречило бы свойству 2°. 4°. Каждая грань абстрактного многогранника имеет не менее трех вершин (а следовательно, и сторон). Доказывается аналогично предыдущему. 2.3. Теорема Штейница. Ясно, что всякий пространственный мно­ гогранник можно рассматривать как некоторый абстрактный многогран­ ник. Естественно возникает обратный вопрос: всегда ли существует пространственный многогранник, изоморфный заранее данному абстрактному многограннику, т. е. всякий ли абстрактный многогран­ ник может быть реализован в виде некоторого пространственного многогранника. Оказывается, в наиболее важном случае, а именно для абстрактных многогранников с эйлеровой характеристикой, равной 2, на этот вопрос можно ответить положительна даже ограничиваясь лишь в ы п у к л ы м и пространственными многогранниками. Этот факт был доказан немецким математиком Э. Ш т е й н и ц е м . Т е о р е м а Ш т е й н и ц а . Всякий абстрактный многогранник, эйлерова характеристика которого равна 2, может быть реали­ зован в виде некоторого выпуклого многогранника.* Доказательство теоремы Штейница не может быть проведено лишь элементарно-геометрическими методами: оно опирается на некоторые вспомогательные предложения (см. ниже, леммы 1 и 2), которые могут быть доказаны лишь с привлечением топологических соображений. Не останавливаясь на доказательстве этих вспомогательных предло­ жений, мы наложим здесь элементарно-геометрическую часть доказатель­ ства теоремы Штейница; она сама по себе достаточно поучительна. Основную роль в доказательстве теоремы Штейн и и а играет одно преобразование абстрактных многогранников, которое мы сейчас и рас­ смотрим. Пусть а , и а , — две грани абстрактного многогранника М, имеющие общую сторону АВ. Произведем над М следующие операции: 1) исключим АВ из числл ребер многогранника УИ; 2) заменим грани а , и а одной новой гранью а , считая инцидентными ей все стороны и вершины гране.! а, и а (кроме стороны АВ); 3) если после исключения ребра А В к одной из вершин А и В например к А, примыкают только два ребра АА и АА многогран­ ника М, исключим А из числа вершин и заменим эти ребра одним ребром А А . Такое преобразование абстрактного многогранника М назовем объеди­ нением его граней а и а . Например, объединяя две грани куба (рис. 23, а), получим абстрактный многогранник, изоморфный треуголь­ ной призме (рис. 23, б). 2 2 9 Х г Х 2 х г 26»