* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

4П2 МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ нами и т. п. В отличие от абстрактных многогранников те многогран­ ники, о которых говорилось в § 1, мы будем называть простран­ ственными многогранниками. Тривиальными примерами абстрактных многогранников являются одна грань (без ребер и вершин) или одна вершина (без ребер и граней), а также многогранник, состоящий из одной грани и одной вершины (не инцидентных между собой). Столь же тривиальными можно считать абстрактные многогран­ ники, определяемые разбиением поверхности сферы на две области (грани), ограниченные тремя дугами (ребрами), соединяющими по­ парно три точки (вершины, рис. 22, а), или на три области (грани) — тремя дугами (ребрами), соединяющими две точки (вершины, рис. 22, б). Мы будем далее исключать эти случаи из рассмотрения, предполагая, что каждый рассматриваемый многогран­ ник имеет не менее трех вер­ шин и не менее трех граней. Из определения абстракт­ ного многогранника (и приня­ того только что условия) вытекают следующие его простые свойства. 6} 1°. Две вершины абст­ а) ракты ого многогранника Рис. 22. могут принадлежать не более чем одному ребру. В самом деле, предположим, что вершины А я В принадлежат двум ребрам а и Ь. По условию V6 каждое из этих ребер должно принадлежать двум граням; пусть а^а а^а & ^ P ^ * ^ Р . Обе грани а, и а не могут совпадать с гранями р , и Р , так как это противоречило бы условию IV. Далее, если, например, а, совпадает Pii грани а и Р различны, то в силу того же условия IV вер­ шины А и В должны принадлежать еще одному ребру С, общему для граней а и р т. е. мы приходим к абстрактному многограннику, изображенному иа рис. 22,6* и исключенному нами из рассмотрения. Наконец, если грани а а , р , , 0 все различны, то в силу того же условия IV через вершину А должны проходить три стороны грани а, (принадлежащие кроме нее соответственно а , Р,, Р ), что про­ тиворечит условию 111. 2°. Две грани абстрактного многогранника не могут иметь более одного общего ребра. Доказывается аналогично предыдущему ). 1% г l t а 2 2 с а 2 2 2 г р 2 2 2 2 1 ') Свойства 2° и 4° можно также получить из свойств с помощью принципа двойственности (см. нвже, стр. 407). 1° в 3°