* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

398 МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ получается, что сетка С не пересекается с замкнутой линией А, но у сетки С есть вершины, лежащие п о р а з н ы е с т о р о н ы линии А. Это, однако, противоречит с в я з н о с т и сетки C . Итак, точки Р и Q не могут быть соединены дугой, не пересекающейся с C , и потому ребро / разбивает грань G ровно на две части. Теперь мы знаем число ребер, вершин и граней сетки С и можем найти ее эйлерову характеристику: к к k ft+1 А + 1 к+1 В» -Р +1 к+1 + Г ~В -(Р +1) к+1 л к + (Г +1) л к+1 = В -Р л к + г. к Итак, эйлерова характеристика сетки С равна эйлеровой харак­ теристике сетки С , т. е., по предположению индукции, равна двум. А Рис. 18. Рис. 19. С л у ч а й I I . Так как лишь один конец ребра / принадлежит сетке С (рис. 19), то при добавлении этого ребра появляется одна новая вершина, т. е. А + 1 к Число же граней не меняется: так как ребро 1 расположено целиком в одной грани G сетки С и не разбивает эту грань. Таким образом, к+1 к В к + -Р и + 1 + Г к+1 = (В + 1 )-(Р к к + 1) + / \ = В -Р к ь + Г = 2. к Итак, индукция проведена, и теорема 4 полностью доказана. Вместе с тем мы получили еще одно доказательство теоремы Эйлера. Как же будет обстоять дело для несвязных сегок? Ответ на этот вопрос дает следующая Т е о р е м а 5. Если сетка С на сфере состоит из т компонент (m^= 1), то ее эйлерова характеристика равна т-\- 1.