* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
398
МНОГОУГОЛЬНИКИ И
МНОГОГРАННИКИ
получается, что сетка С не пересекается с замкнутой линией А, но у сетки С есть вершины, лежащие п о р а з н ы е с т о р о н ы линии А. Это, однако, противоречит с в я з н о с т и сетки C . Итак, точки Р и Q не могут быть соединены дугой, не пересекающейся с C , и потому ребро / разбивает грань G ровно на две части. Теперь мы знаем число ребер, вершин и граней сетки С и можем найти ее эйлерову характеристику:
к к k ft+1 А + 1 к+1
В» -Р
+1
к+1
+ Г ~В -(Р +1)
к+1 л к
+ (Г +1)
л к+1
= В -Р
л
к
+
г.
к
Итак, эйлерова характеристика сетки С равна эйлеровой харак теристике сетки С , т. е., по предположению индукции, равна двум.
А
Рис. 18.
Рис. 19.
С л у ч а й I I . Так как лишь один конец ребра / принадлежит сетке С (рис. 19), то при добавлении этого ребра появляется одна новая вершина, т. е.
А + 1 к
Число же граней не меняется:
так как ребро 1 расположено целиком в одной грани G сетки С и не разбивает эту грань. Таким образом,
к+1
к
В
к
+
-Р
и
+
1
+ Г
к+1
= (В + 1 )-(Р
к
к
+ 1) + / \ = В -Р
к
ь
+ Г = 2.
к
Итак, индукция проведена, и теорема 4 полностью доказана. Вместе с тем мы получили еще одно доказательство теоремы Эйлера. Как же будет обстоять дело для несвязных сегок? Ответ на этот вопрос дает следующая Т е о р е м а 5. Если сетка С на сфере состоит из т компонент (m^= 1), то ее эйлерова характеристика равна т-\- 1.