* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОМБИНАТОРНЫЙ (ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ) ТИП МНОГОГРАННИКА 399 Д о к а з а т е л ь с т в о . Если т. е. сетка С связна, те утверждение теоремы 5 верно (см. теорему 4). Пусть справедливость теоремы 5 установлена уже при m < m . Рассмотрим какую-либо сетку С, имеющую /п компонент. Одну из компонент сетки С обо­ значим через С , а всю остальную часть сетки С—через С . Тогда сетка С имеет /» — 1 компонент, и потому, по предположению индукции, ее эйлерова характеристика равна /п , т. е. 0 0 0 0 Г" = т , 0 где В*, Р*, Г° — числа вершин, ребер и граней сетки С. Пусть теперь / e i - - l — все ребра сетки С , зану­ мерованные таким образом, что при любом к( = 1, . . . , q) ребра l / , . . . , 1 образуют связную сетку (ср. дока­ зательство теоремы 4). Обозначим q v а к через С* (£ = 1, . - . , q) сетку, состоя­ щую из сетки С и ребер / l\ ясно, что сетка С совпадает с С. Рис 20/ Индукция, проведенная при доказа­ тельстве теоремы 4, без всяких изменений проходит и здесь, и мы получаем, что все сетки С С* имеют о д н у и т у «i е эйлерову характеристику. Но сетка С получается из С добавлением одного ребра l не имеющего с С" общих вершин (рис. 20). Поэтому при переходе от С к С, число граней не меняется, число ребер увеличивается на 1, а число вершин — на 2. Следовательно, эйле­ рова характеристика сетки С „ а значит и сетки (? = C, равна 1? k д п х v Q (ВГ + 2)—(Р" + \) + r=,(ff —Р" r + Г) + 1 = т + 1 . 0 Проведенная индукция и доказывает теорему 5. С л е д с т в и е . Для любой сетки на сфере справедливо венство В—/>+Г^2, нера­ т. е. эйлерова характеристика любой сетки на сфере не меньше двух. § 2. Комбинаторный (топологический) тип многогранника. Теорема Штейница 2 . 1 . Комбинаторные свойства многогранников. Изоморфизм. Во многих вопросах теории многогранников бывает важно знать не форму и размеры граней рассматриваемого многогранника, а лишь число сторон каждой грани и общую схему соединения граней