* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА 387 числе вершин и сторон решается очень просто: число С сторон многоугольника всегда равно числу В его вершин: С=В или С—В=0, причем существуют многоугольники с любым числом л 5=3 вершин (и сторон). Для многогранников же, как показывают уже простей­ шие примеры (рис. 6, а—д), положение оказывается значительно более сложным. Обозначая число граней, вершин и ребер многогранника соответственно через / \ В и Р , получим для многогранников, изоб­ раженных на рис. 6, следующую таблицу. Таблица Многогранник 1 р Г в Треугольная пирамида (рис. 6, а) Четырехугольная призма (рис. 6, б) Пятиугольная бипирамида (рис. 6, в) Одиннадцатигранник (рис. 6, г) Двенадцатигранник (рис. 6, д) 4 6 10 11 12 4 8 7 11 18 6 12 15 20 28 Чтобы обнаружить какую-либо общую закономерность, связыва­ ющую число граней, вершин и ребер многогранника, рассмотрим подробнее, например, произвольные призмы и пирамиды. Для л-угольной призмы мы имеем Г=п4-2 В = 2п, Р = 3 л , а для л-угольной пирамиды Г=п + \ £ ? = л + 1 , Р=2п. Если увеличить число л на единицу, то у призмы число граней увеличится на 1, число вершин на 2, число ребер—на 3, а у пирамиды соответственно на 1, 1 и 2. Неизменной при этом остается разность (£+/"*)—Р\ при любом л она равна 2. Таким образом, для призм и пирамид соотношение между числами Г, В и Р найдено: 1 9 Г+В—Р=2. (1) Читатель без труда проверит, пользуясь приведенной выше таб­ лицей, что это же соотношение выполняется и для многогранников, изображенных на рис. 6, в, г, д. Мы покажем сейчас, что на самом деле оно справедливо для весьма широкого класса многогранников. Для этого заметим, что вс« более и более сложные многогран­ ники можно получать из более простых, «приставляя» эти простые друг к другу равными гранями (см., например, рис. 7). Выясним, что будет происходить с величиной Г+В—Р, если мы «приставим» к данному многограннику какой-нибудь другой; ограничимся пока 25»