* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

П Н Т Е О В К О Н ХП О Т А С В Х О Я И Е Т Р Ы Р С Р Н Т А 375 дели. Аналогично, вектору Ар соответствует тройка (Аа, Ар, Ау) = = А(а, р, у). Наконец, скалярное произведение рр' = (аа + рб + у*) (<*'* + Р'& + Y'*b как легко подсчитать (используя соотношения aa = bb = cc=\, ab = ac = bc = 0 и аксиомы 8°, 9°, 10°), равно а а ' + р р ' + Y Y ' » - равно скалярному произведению векторов (а, р, у) и ( а ' , р ' , у ' ) в арифметической модели. Итак, построенное соответствие между эле­ ментами множества R' и элементами арифметической модели сохра­ няет сумму векторов, произведение вектора на число и скалярное произведение, т. е. является изоморфизмом. Таким образом, любая модель изоморфна арифметической, и потому система аксиом I — 1 3 ° является полной. Т Е е Мы уже знаем две модели этой аксиоматики — арифметическую модель и геометрическую (т. е. множество всех векторов трехмерного евклидова пространства, см. § 1). Для сравнения приведем еще две алгебраические модем аксиоматики 1°—13°. Именно будем называть «вектором» каждый многочлен второй стелены с действительными коэффициентами: азР + Ъх+с- Сумму двух «векторов» и умножение «вектора» на число определим как обычное сложение многочленов и умножение многочлена на число. Очеиидно, что при этом аксиомы 1°—7° будут выполнены. Скалярное произве­ дение «векторов» определим формулой (ах + Ьх+с) (а'х + Ь'х+с') 2 2 = аа' + ЬЬ' + сс'. Без труда проверяется справедливость аксиом 8° —11°. Проверка аксиом 12°, 13° проводится примерно так же, как в арифметической модели. Та кнм образом, мы получаем говую модель для аксиоматики 1°—13°. Еще одну, четвертую модель мы получим из этой третьей модели, по-прежнему считая «векторами» кьадратные многочлены, сохраняя тот же смысл сложения и умножения на число, но водя скалярное произ­ ведение по-другому: {ах* + Ьх+с) (а'х + Ь'х + с ) = ^(ах + Ьх + с) {а'х + Ь'х + с') dx 2 1 2 2 и (под интегралом стоит обычное произведение многочленов). Это скалярное произведение также удовлетворяет аксиомам 8°—11° (что легко прове­ ряется), и потому мы действительно получаем еще одну модель аксиома­ тики Г—13°. 7.4. Аксиоматика элементарной геометрии. Теперь, пользуясь аксиоматикой 1°—13°, мы построим новую аксиоматику геометрии, отличную от той, которая приведена в статье «Аксиомы и основные понятия геометрии» (стр. 32—40). В этой аксиоматике основными понятиями являются, во-первых, векторы и операции над ними (сложение, умножение на число и скалярное умножение) и, во-вто­ рых, точки и откладывание векторов. Векторы и операции над 1