* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

374 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ вид Ка \ib + vc = О, а это противоречит линейной векторов а, Ь, с (теорема 8). Таким образом, хФО. 1 независимости Умножив обе части написанного выше соотношения на — , мы получаем (исполь¬ зуя соотношение л4) = 0, которое доказывается примерно так же, как теорема 2) откуда Таким образом, числа удовлетворяют требуемому соотношению р = аа-\-рЬ-\-ус. Если а ' , р ' , у'—другие числа, удовлетворяющие соотношению р = а ' а + + Р ' b + у'с, то, вычитая из одного выражения вектора р другое, мы получим ( а — а ' ) а + (р — p ' ) 6 + ( — у ' ) с = 0. Y Отсюда в силу линейной независимости векторов а, 6, с (теорема 8) мы находим а — а ' = 0 , Р — р ' = 0, у—у' = °Таким образом, числа а, р, у определены вектором р однозначно. Теперь уже нетрудно доказать полноту аксиоматики 1°—13°. В самом деле, пусть /?' — произвольная модель для этой аксиомати­ ки. Выберем в R' ортонормированный базис а, Ь, с (теорема 7). Далее, для каждого вектора р (т. е. элемента множества R') мы выберем такие числа а, р , у, что р = аа-\-$Ь-\-ус (теорема 9), и затем поставим в соответствие вектору р тройку чисел (а, р, у). Мы получаем таким образом взаимно однозначное соответствие между элементами модели R' и.-тройками чисел (а, р, у), т. е. элементами арифметической модели. Нетрудно показать, что это соответствие является изоморфизмом. "Действительно, если вектору р соответ­ ствует .тройка (а, р, у), вектору р'—тройка (a', P'.Y*), т. е. 3 р = аа + $Ь + ус то мы имеем р+р' 1 р' = а ' а + р'& + *у'с, = (aa + $b + yc) + (a'a + $'b+y'c) = + а ' ) а + (Р + р')& + (Y + Y V . = ( а и потому вектору р + р ' соответствует тройка (а + а ' , Р + Р ' , Y + V'). т. е. сумма векторов (а, р, у) и ( а ' , р ' , у') в арифметической мо-