* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОНЯТИЕ О ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 373 Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а\ Ь', с' — три произвольных ли­ нейно независимых вектора (аксиома 12°). Тогда вектор а ' отличен от 0 (теорема 3). Выберем такое число к (очевидно, отличное от нуля), что вектор а = ка' удовлетворяет соотношению о а = 1 (тео­ рема 6). В силу теоремы 4 векторы a, b\ с' линейно независимы. Положим = b'—(ab')a. Из аксиом 8°, 9°, 10° следует, что ab" = 0 (непосредственный подсчет). В силу теоремы 4 векторы а, Ь'\ с ' линейно независимы. Поэтому вектор If отличен от нуля (те­ орема 3), и значит существует такое число р , что вектор b = \ib" удовлетворяет соотношению bb=\ (теорема 6). Из теоремы 5 вы­ текает, что о 6 = р ( а 6 " ) = 0. В силу теоремы 4 векторы а, b с' линейно независимы. Положим с" = с ' — ( а с ' ) а — [ b c ' ) b . Непосред­ ственный подсчет с помощью аксиом 8°,9 ,10° показывает, что ас" = 0, Ьс" = 0. Кроме того, векторы а, 6, (? линейно независимы (теорема 4), и потому с"ф0. Поэтому существует такое число v, что век­ тор с = хс" удовлетворяет соотношению сс= 1. Кроме того, в силу теоремы 5 мы имеем: ас = v(ac") = Q bc = v(6r") = 0. Таким обра­ зом, построенные векторы а, Ь, с удовлетворяют всем требуемым условиям. Т е о р е м а 8. Пусть а, 6, с— произвольный ортонормированныа базис, т. е. тройка векторов, удовлетворяющих условиям r t С 1 aa = bb = cc = 1, ab = ac = bc = 0. Тогда векторы а, Ь, с линейно независимы. В самом деле, пусть X, р , v — т а к и е числа, что выполнено соот­ ношение А а + р & + vc = 0. Умножив скалярно обе части этого ра­ венства на вектор а, мы получим (используя аксиомы 9°, 10°) К(аа) + ц {ab) + v [ас) = 0, откуда (в силу соотношений, указанных в условии теоремы) К = 0. Аналогично (умножая на 6, а затем на с) мы найдем, что р = 0, v = 0. Таким образом, векторы а, 6, с линейно независимы. Т е о р е м а 9. Пусть а, Ь, с—произвольный ортонормированный базис и р—произвольный вектор. Тогда существуют такие числа а, р, у» р=аа + $Ь+ус. ч т о Эти числа а, р, у определены однозначно (они называются к о о р ­ д и н а т а м и вектора р в базисе а, Ь, с). Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как любые четыре вектора линейно зависимы (аксиома 13°), то существуют такие числа х, А, р , v, что н р + Ka + \ib + vc = 0 и среди чисел х, А, р , v хотя бы одно отлично от нуля. Если бы число х было равно нулю, то написанное соотношение приняло бы