* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

370 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ 10°. {Ха)Ь = к{аЬ) для любых векторов а, Ь и любого действи­ тельного числа л. 11°. Для любого вектора а число аа неотрицательно и равно нулю только в случае, если а = 0. [Нулевой вектор 0 о п р е д е л я е т с я равенством с + 0 = с с — произвольный вектор. | ш IV. С в о й с т в а размерности 12°. Существуют в множестве R три линейно независимых вектора13°. Всякие четыре вектора из R линейно зависимы. Перечисленные аксиомы играют очень важную роль в современ­ ной математике. Как мы знаем, аксиомы 1°—3° вводят весьма важное понятие группы (см. стр. 27). Аксиомы 1°—7° определяют по­ нятие векторного пространства, также играющее очень важную роль. Наконец, аксиомы 1°—11° определяют понятие евклидова векторного пространства, имеющее многие плодотворные примене­ ния в математике. Ниже мы скажем несколько подробнее о векторных (в частности, евклидовых) пространствах. Сейчас же мы хотим прежде всего показать, что система аксиом 1°—13° непротиворечива и полна (см. стр. 28 — 30). Это означает, что, исходя из действи­ тельных чисел, можно построить модель для этой аксиоматики (не­ противоречивость) и что любые две такие модели изоморфны между собой (полнота). 7.2. Арифметическая модель векторного пространства. Модель для аксиоматики 1°—13° строится очень просто. Вспомним, что введение координатной системы позволяет записывать каждый вектор в виде тройки чисел (х, у, г), причем указанные выше операции весьма прости выражаются в координатах. Мы установили эти факты, используя геометрическую модель системы векторов (см. § 1). Те­ перь же мы примем координатную запись векторов в качестве исходного о п р е д е л е н и я . Итак, каждую тройку (х, у, г) действительных чисел (записанных во вполне определенном порядке) мы условимся называть «вектором» и обозначим через R совокупность всех таких «векторов». Далее, сумму двух векторов, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определим формулами: ( * . . >.> *,)НМ*2>>2.**) = + Л + Л . + К[х, у, z) = (hx, Ку, kz), Остается проверить, что в этой «арифметической» модели системы векторов выполнены аксиомы 1°—13°. Проверка аксиом 1°—11° не представляет никакого труда. Укажем кратко, каким образом прове­ ряются аксиомы 12° и 13 . Для проверки аксиомы 12° мы установим, 9