* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОНЯТИИ О ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 369 § 7. Понятие о векторных пространствах 7.1. Аксиоматическое* определение векторного пространства. В этом параграфе мы приведем аксиоматику, описывающую сово­ купность всех векторов (на плоскости или в пространстве). Это, в частности, позволит нам дать еще одну систему аксиом геометрии, отличную от аксиоматики, приведенной в статье «Аксиомы и основ­ ные понятия геометрии» (стр. 32—40). Обозначим через R совокупность всех векторов в пространстве. В предыдущих параграфах были установлены многие важные свойства множества R. Некоторые из этих снойств мы отметим здесь еще раз. I. Г р у п п о в ы е свойства Для каждых двух векторов а, Ь (т. е. для каждых двух элемен­ тов множества R) определен вектор fl-f-6, называемый их суммой. Эта операция сложения обладает следующими тремя свойствами: 1°. (а-\-Ь) + С = а + (Л + с) для любых трех векторов а , Ь, С. 2°. a-{~b = b-{~a для любых двух векторов а, Ь. 3°. Для любых векторов а, Ъ уравнение a + JC = Ь имеет решение (т. е. существует хотя бы один вектор х, удовлетворяющий соот­ ношению а-{-х = Ь). Свойства 1°—3° показывают, что множество/? является коммута­ тивной группой относительно операции сложения векторов (ср. стр. 27). 1]. С в о й с т в а линейности Для каждого вектора а и каждого действительного числа X опре­ делен вектор %а называемый произведением вектора а на число К. Эта операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами: 4°. \а = а для любого вектора а. 5°. (X + [i)a = hi + \ia. 6°. k(a + b) = ka + Xb. 7°. X(\La) = (h\x)o. у (В свойствах 5°, 6°, 7° а и b—произвольные ствительные числа.) III. М е т р и ч е с к и е векторы, а А, |г — дей­ свойства 9 Для каждых двух векторов a, b определено действительное число ab называемое их скалярным произведением. Эта операция скалярного умножения обладает следующими свойствами: 8°. ab — ba для любых двух векторов в , Ь. 9°. {a + b)c = ac + bc для любых трех векторов a, b с. f 24 Энциклопедия, кн. 4