* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ТРОЙНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 361 Складывая теперь все три соотношения (94), (94а), (946), мы полу­ чаем соотношение (90), которое, таким образом, также доказано. Докажем еще следующие соотношения, которые понадобятся нам в следующем параграфе: lla, ft], [с, d]] = (a, с, d)ft—(ft, с, d)a, (95а) [[a, ft], [с, d]] = (a, ft, d)c—(a, b, c)d, (956) [a, b][c, d] = (ac)(bd)—(ad)(bc). (96) Соотношение (956) легко вытекает из соотношений (94) и (83): lla, ft], \с, d]] = ([a, b]d)-c~(la, b]c)-d = (a, ft, d ) r — ( a , ft, c)d. b)a + (c, d, a)ft = Далее, из соотношений (956) и (85) вытекает (95а): lla, ft], [с, d]] = — \\с, d ] , [с, ft]] = — (с, d, — (а, с, d)ft—(ft, c, d ) a . Наконец, формула (96)- вытекает из (83), (81) и (94): [a, ft] [г, d] = (а, ft, [с, d]) = (ft, [<\ d ] , а) = [ft, [с, d]] а = = {(ftd) г — (ftr) d}a = (bd)(ac) — (ftc) (ad). 5.5. Примеры. Рассмотрим теперь несколько задач, иллюстрирую­ щих применения тройного и векторного произведений в геометрии. Задача 12. Найти объем треугольной пирами­ ды (тетраэдра), зная длины *•»».... _ всех его ребер. А Р е ш е н и е . Пусть дан тетраэдр ОАВС (рис. 78). Векторы О Д ОВ, ОС; АВ, ВС, СА обозначим через а, ft, с\ с\ а'у ft'. Дополним тетраэдр до параллелепи­ педа OADBCA D B \ оче­ Рис. 78. видно, что объем этого параллелепипеда будет в 6 раз больше объема тетраэдра (если h есть общая высота тетраэдра и параллелепипеда, опущенная из x x x вершины С, то V =S nap OADB 'k; V Tej? = jS o A B -h и S 0 A B ---±S ) 0ADB * Отсюда получаем тетр 6 Но в силу формулы (93) а* (a, ft, с) = aft г ас ab Ь be г ас be с г