* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ТРОЙНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 357 Заметим еще, что ассоциативность векторного произведения для умножения трех векторов места н е и м е е т : вообще говоря, [[a, bl Например, если г, j—два (рис. 77), то мы имеем с\ Ф [а, [ft, с]]. взаимно — перпендикулярных вектора [[«. Л. Л = [** А= Ассоциативность векторного своеобразным тождеством: \U LA Л1 = W. 01 =0. заменяется следующим (90) произведения [о, lb, с]] + 1Ь \с а\\ + 1с | а , Ь]] = 0 ч ч связывающим «двойные векторные произведения» (а, [ft, £]], [ft, [с, а|1 и \с, [а, ft)] одних и тех же векторов а. ft и с взятые с разным порядком расстановки ско­ бок. Тождество (90) носит название тождества Я к о б и; мы его докажем ниже. Нетрудно понять, что соотношения (85), (86) и (87) можно довольно просто вывести из, самого определе­ ния тройного и векторно­ го произведений По-иному обстоит дело с соотношениями дистрибутивности (88)—(88а) и (89) — здесь выбранный нами довольно длинный путь доказательства этих свойств вряд ли можно сократить. Из доказанных свойств тройного и векторного произведений вы­ текают правила перемножения сумм векторов, родственные обычным правилам раскрытия скобок: (2a + 3ft, 2с d — 5 е ) = 4(а, с , * / ) — 2 0 ( a , c , £ ) + 6(ft, с, d)—30(ft, с, е) или |4а— ft, c + 3d) = 4[a, с ] + 1 2 [ а , d\ — [ft, с]—3[ft, d]. Однако при этом приходится учитывать антикоммутативность трой­ ного и векторного произведений — в частности то, что векторное произведение двух одинаковых множителей («векторный квадрат») всегда равно нулевому вектору и тройное произведение трех множи­ телей, по крайней мере два из которых одинаковы, всегда равно нулю: la, aj = 0, (a, a, ft) = (a, ft, a) = (ft, a, a) = (a, a, a) = 0.