* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
358
Вькторы
И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
В ГЕОМЕТРИИ
Учитывая антикоммутативность, имеем, например, (a + ft, ft + c, c + a) = (a, ft, c) + [b с, a) = 2 (a, ft, c)
%
или [a-I-2ft, 36—a] = 3 [ a , ft]—2 [ft, n | = 5 [ a , ft]. Найдем теперь выражения для тройного и векторного произведе ний в координатах. Пусть векторы a, ft и с имеют координаты (*. У> (*.. У^ *г) и ( x , y , z ) т. е.
t t t t
a= b= c=
xi+yj+zk
x x
%
x i+y j+z k,
x
x i+yj+z k.
t t
От векторов j , j\ ft, направленных по осям координат, мы потребуем только, чтобы объем построенного на них параллелепипеда был равен 1 и чтобы этот параллелепипед был ориентирован положительно: (/, j,k) = + \ . В таком случае имеем ia, ft, c) = \xi+yj+zk* = xy z {i,
l t
x i+yj+z k,
x x x t
x i+yj+z k)
t t x t
= *) +
x t t
J, b) + xz y (i, ft, J)+yx z {j\ i) + zx y (k
x t f
f, j) + zy x (k
x t x %
У, I), (91)
или, окончательно, (a, ft, c) = x ^ ^ + ^ + z x j , - x z ^ — yx z ~zy x . Для того чтобы найти выражение для векторного произведения векторов а и ft, потребуем, чтобы система координат была декарто вой прямоугольной и к тому же правой, г. е. чтобы было [ i , 7] = ft, U\ b\ = L (см. рис. 77). При этом получаем la, b\ = [xi+yj + zk x i+yj
9 x
[ft,
i\=j
+ z k] =
x
= ху Ц,
г
j\ + xz \U
x
k\+yx U\
x
i]+yz H
x
k\ + zx lk
x
1
i\ + zy [k
x
9
Jl.
или, окончательно, la. b\ = (yz —zy )i + [zx — xz )j+(xy —
x x x x x
yx )k.
x
(92)
Таким образом, векторное произведение векторов а и ft с координа тами (х, у, z) и ( x y z ) имеет координаты
l f v x
{yz —zy
t
v
zx —xz ,
x x
ху —ух ).
х х
