* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ТРОЙНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 355 1 торное произведение [а, Ь\ первых двух векторов, а затем ум­ ножить его скалярно на третий вектор г ) . 5.3. Свойства векторного и тройного произведений* Разумеется, уместность употребления в применении к вектору N = | а , Ь\ названия «векторное п р о и з в е д е н и е » обусловливается не полученной таким путем возможностью представлять тройное произведение векторов как повторное, а сходством свойств «векторного произведения» [а, Ь\ с произведением чисел (а также со скалярным и с косым произве­ дениями векторов). К выводу этих свойств векторного произведения мы сейчас и перейдем. Заметим прежде всего, что в силу формулы (81) и коммутатив­ ности скалярного произведения (см. формулу (47) стр. 328) мы имеем (a, с) = (Ь. <\ а) = [&, с]а = а\Ь, с]; (84) таким образом, тройное произведение векторов а, Ь и с равно также скалярному произведению первого вектора а на вектор¬ ное произведение двух последних векторов Ь и с. Перейдем теперь к выводу свойств тройного произведения и векгорного произведения. Мы уже видели, что тройное произведение (а, Ь с) антикоммутативно (см. (81)). Отсюда немедленно вытекает, что векторное произведение | а , Ь] антикоммутативно: % [а, Ь) = — \Ь. а). (85) В самом деле, из антикоммутативности тройного произведения и формулы (84) следует b, с) = — (Ь, а, с) — — lb, а\с. т Как мы видим, два вектора \а. b] = N и [6, а\ = М таковы, что для л ю б о г о вектора с имеет место соотношение: Nc = — Мс, или, что то же самое, (Л! -}- N)c = 0. Таким образом, вектор M-\-N должен быть перпендикулярен любому вектору с, что невозможно при M-\-N=£0. Следовательно, M + N=0, т. е. М = —N, а это и есть соотношение (81). Докажем теперь, что тройное произведение (а, 6, с) ассоциа­ тивно по отношению к умножению любого из векторов-сомно­ жителей на численный множитель: (Ьа, с) = (а. J&. с) = (а, 6, Кс) = К [а. с). (86) % |а, b\c = {a Из формулы (84) и ассоциативности скалярного произведения имеем (Ла, Ь с) = (Ха)|6, c\ = "k[a\b* с|) = М а . Ь. с). % смешанным произведением. Это последнее название имеет ввиду то, что л ля ') В литературе тройное произведение (а, Ь, с) называется также часто t образования произведения (а, b с) надо использовать два разных вида умножения векторов — векторное и скалярное.