* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ И УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО 307 Из этото определения видно, что операция умножения вектора на число тесно связана с преобразованием г о м о т е т и и ) : гомотетия с центром О и коэффициентом КфО (рис. 22,а, б) переводит каждую точку А в такую точку А\ что 1 ОА'=КОА. (17) 2.6. Свойства произведения вектора на число. Указанные выше свойства (13) — (16) операции умножения вектора на число напоми­ нают хорошо известные свойства операции умножения чисел. Следу­ ющие три свойства также подчерки­ вают эту аналогию: л(/а) = (/е/)а, (А + / ) а = /еа + /а, k(a+b) = ka + kb. (18) (19) (20) Доказательство свойств (18) — (20) несложно. Рассмотрим, например, соотношение (18). При а = 0 оно оче­ видно. Если же а=£0, то из опреде­ ления операции умножения вектора на число сразу следует, что векторы, стоящие в обеих частях соотноше­ ния (18), параллельны вектору а и имеют одну и ту же длину (равную | к | • | /1 -1 а |). Поэтому остается толь­ ко проверить, что векторы, стоящие в левой и правой частях соотношения (18), одинаково направлены; это без труда устанавливается с учетом знаков чисел к и /. Далее, полное доказательство равенства (19) легко получить из определения операции умножения вектора на число и правила сложения векторов, параллельных одной прямой (см. выше, стр. 300). Наконец, соотношение (20) легко получить, построив па­ раллелограмм со сторонами ОА = а н ОВ=*Ь и применяя к этому параллелограмму гомотетию с центром О и коэффициентом к\ дей­ ствительно, учитывая соотношение (17), мы имеем k (а-\~ b) = к (OA + ОВ) = к-ОС= ОС = OA'+ ОВ' = = к-ОА + k-OB = ka + kb (см. рис. 23, а, б, на которых отдельно изображены случаи & > 0 и £ < 0 ) . Приведенное доказательство применимо лишь в случае, если ') См. статью «Геометрические преобразования», стр. 55. 20*