* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

302 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ В ГЕОМЕТРИИ В фигуре, изображенной на рис. 14, нетрудно увидеть п р а ­ в и л о п а р а л л е л о г р а м м а , применяющееся в физике для опре­ деления суммы векторов («параллелограмм сил»): сумма векторов OA и ОВ равна вектору ОС, изображаемому диагональю парал­ лелограмма ОАСВ (построенного на векторах ОА и ОВ). Сле­ дует отметить, что «правило параллелограмма» менее удобно для определения суммы векторов, чем использованное выше определение суммы векторов на основе равенства (3): «правило параллелограмма» теряет смысл в случае параллельности векторов-слагаемых и нуж­ дается в этом случае в дополнительных разъяснениях, в то время как равенство (3) справедливо во всех случаях. В тех же случаях, когда векторы-слагаемые не параллельны, правило параллелограмма и принятое выше определение сложения лишь формой оттичаются друг от друга. Можно еще определить сумму векто­ ров следующим способом: вектор ОС называется суммой векторов OA = аи ОВ—-Ь, если середины отрезков ОС и АВ совпадают (рис. 15). Это правило сло­ жения, очевидно, эквивалентно данному Рис. 15. выше; оно применимо в с е г д а (даже если векторы а и Ь параллельны). Как и в арифметике чисел, в «арифметике» векторов справедлив ассоциативный (сочетательный) закон сложения векторов, выража­ емый равенством (a+b) + c = a + (b + c). (8) Для доказательства мы отложим от произвольной точки О вектор С М = а , от точки А—вектор АВ=Ь и от точки В — вектор ВС=с. Тогда мы имеем (см. (3)) (а + Ь) + с = (ОА + АВ) + а+{Ь^с) = ^ + (АВ+^) Ш:^ОВ+Ш==ОС = Ш + г АС=ОС, откуда и следует равенство (8). Заметим, что приведенное доказа­ тельство совсем не использует чертежа. Это характерно (при неко­ тором навыке) для решения задач и доказательства теорем при по­ мощи векторов. При желании читатель может повторить вывод соотношения (8), интерпретируя написанные соотношения на рис. 16. Равенство (8) позволяет записывать сумму трех векторов просто в виде а-\-Ь + с (без скобок), а вывод соотношения (8) (или рис. 16) убеждает нас в том, что эта сумме представляет собой замыкаю-