* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА 297 что любые два из них образуют «верную» пропорцию (в том смысле, что произведение средних членов в такой пропорции будет равно произведе­ нию крайних членов); мы признаем такие отношения «эквивалентными», и получающийся таким образом класс эквивалентности объявляем одним рациональным числом Лишь после этого равенство 2 : 3 = 4 : 6 ^илп-~- ~g~^ становится «настоящим равенством»; до этого его следовало бы, строго говоря, понимать именно как эквивалентность, а не как утверждение о том, что в записи 2:3=4:6 в левой и в правой частях равенства написано «одно и то же». Аналогично обстоит дело и с «равенством» треугольников (или других фигур). Изображенные на рис. 9 треугольники, разумеется, не одинаковы, т. е. н е с о в п а д а ю т ; поэтому более строгим было бы говорить о них как об эквивалентных, а не о равных ')• Но в геометрии принято считать два совпадающих при наложении тре­ угольника одним и тем же треугольником, т. е. понимать под словом «треугольник» сразу весь класс треугольников, каждые два из которых можно совместить дви­ жением. Только после этого соглаше­ ния приобретают смысл распространен­ ные утверждения вроде того, что «зада­ ча построения треугольника по двум сторонам а и b и заключенному между ними углу С имеет е д и н с т в е н н о е решение» (т. е. что существует лишь о д и н треугольник с данными сторо­ нами а и Ь и углом С)—без этого нового понимания слова «треугольник» последнее утверждение будет явно неверным ). И лишь это более широкое понимание слова «треугольник» (не подчеркиваемое в школе явно) делает законным употребление термина «равные треугольники» ) . То ж е можно сказать и относительно направленных отрезков. Направ­ ленные отрезки, изображенные на рис. 8, следует считать лишь «эквива­ лентными», а не «равными». Если ж е собрать все эквивалентные направ­ ленные отрезки в один к л а с с н а п р а в л е н н ы х о т р е з к о в , то такой класс эквивалентности как ра* и будет семейстзом всех параллельных, одинаково направленных отрезков одной и той же длины. В результате мы приходим к принятому нами определению вектора как семейства на­ правленных отрезков. Это определение более корректно, чем определение вектора K J K о д н о г о направленного отрезка. 2 а = ') Иногда треугольники, изображенные на рис. 9, называют не «рав­ ными», а «конгруэнтными», т. е. ьводят для эквивалентности фигур, вы­ ражающейся свойством «совпадать при наложении», название конгруэнт­ ность. Такая терминология логически безупречна, но сравнительно мало распространена. *) Таким образом, строго говоря, сформулированное выше утвержде­ ние о задаче построения треугольника по сторонам а и б и углу С означает: существует единственный «класс равных треугольников», такой, что все тре­ угольники этого класса имеют заданные стороны a Ь и заданный угол С (но, конечно, вовсе не единственный треугольник!). *) Эта точка зрения допускает и дальнейшее развитие. См. по этому поводу § 6 статьи «Геометрические преобразования», стр. 98—1J0. t