* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

296 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ (точка, прямая или плоскость), является знакомым издавна, а объект, определяющий параллельный перенос, приходится вводить в рассмотрение заново. 1.4. Векторы и направленные отрезки. Весьма часто понятию вектора дается другое определение, а именно следующее: вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т. е. на­ правленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление (рис. 8), уславливаются считать равными. Конечно, такое определение страдает математической непоследовательностью, ибо «равные векторы»—это то же самое, что «один и тот же век­ тор» (подобно тому как «равные числа»—это «одно и то же число»), а направленные отрез­ ки, изображенные на рис. 8, не совпадают друг с другом. При таком определении проРис. 8. исходит подмена математических понятий, а именно подмена понятия равенства понятием эквивалентности. Равенство двух математических объектов имеет место тогда и только тогда, когда эти объекты с о в п а д а ю т , т. е. когда мы дважды рассматриваем о д и н и т о т ж е объект. Эквивалентностью же считают всякую связь между математиче­ скими объектами, обладающую следующими тремя свойствами: I . Всякий объект эквивалентен самому себе ( « р е ф л е к с и в ­ н о е т ь»). I I . Если один объект* эквивалентен второму, то и второй эквивалентен первому («симметричность»). III. Если один объект эквивалентен второму, а второй — третьему, то первый объект эквивалентен третьему ( « т р а н з и ­ т и в н о е т ь»). Например, п о д о б и е геометрических форм является эквива­ лентностью (ибо выполнение свойств I — I I I здесь очевидно). Разу­ меется, равенство является частным случаем эквивалентности, ни эквивалентность отнюдь не всегда сводится к равенству (как пока­ зывает пример подобных фигур). Если мы условимся считать направ­ ленные отрезки, у которых длины и направления совпадают, экви­ валентными, то мы получим отношение эквивалентности (условия I — III выполняются), но это, конечно, не есть равенство. Таким об­ разом, приведенное выше определение можно счесть некорректным: то, что в этом определении признается «равенством» направленных отрез­ ков (векторов), в действительности является лишь эквивалентностью. Для устранения некорректности такого вида в математике существует стандартный прием: все эквивалентные между собой объекты собираются вместе, в один «класс эквивалентности», и этот класс эквивалентности и объявляется тем новым объектом, который следует изучать. Именно так (сознательно или бессознательно) мы поступаем, когда вводим простые дроби. Отношения 2:3, 4:6, 10:15, 36:54 и т. д. обладают тем свойством.