* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

210 О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ § 2. Перевод задачи на алгебраический я з ы к 2.1. Основная лемма. Нам понадобятся некоторые сведения из теории полей: определение числового ноля, конечного расширения и степени конечного расширении. Все эти сведения можно найти в статье «Кольцо многочленов и поле рациональных функций» из кн. II ЭЭМ. Кроме того, мы будем предполагать, что читатель знаком с гео­ метрическим изображением комплексных чисел точками плоскости, при котором число а-\-Ы (а, Ь—вещественные числа) изображается точкой с координатами (а, Ь) в фиксированной раз навсегда прямо­ угольной системе координат. Это изображение будет играть в дальнейшем основную роль. Именно мы отождествим плоскость, на которой проводятся все наши построения, с полем комплексных чисел. Говоря о сложении, умно­ жении и других алгебраических операциях над точками, мы будем иметь в виду соответствующие операции над числами, которые изо­ бражаются этими точками. Описание всех точек, которые можно по­ лучить из данных посредством построения циркулем и линейкой, равносильно описанию всех отвечающих этим точкам чисел. Мы даже будем говорить, например, о принадлежности точки к некоторому полю и т. п. Итак, пусть в числе данных задачи содержится задание двух точек на плоскости. Выберем одну из этих точек в качестве начала координат 0, второй припишем координаты ( 1 , 0 ) (т. е. число 1). (Кроме этих двух точек, в данные задачи могут входить еще неко­ торые другие точки.) Проведем в точке 0 перпендикуляр к прямой, соединяющей 0 и 1, и отложим единичный отрезок по нему от на­ чала координат. Все эти построения осуществляются с помощью циркуля и линейки; результатом построения является некоторая декартова система координат, которую мы и будем использовать для сопоставления с точками комплексных чисел. Теперь мы рассмотрим какое-нибудь одно (совершенно произволь­ ное) построение циркулем и линейкой. В процессе этого построения строятся совокупности точек. Символом А мы обозначим совокупность п точек, которая получается на очередном шаге построения. Сле­ дующий шаг, тем самым, состоит в добавлении к совокупности А еще одной точки, т. е. в переходе к совокупности А _ . Обозначим символом К наименьшее подполе поля комплексных чисел, содержшцее число i, все числа из совокупности А и вместе с каж­ дым числом содержащее сопряженное к нему число. Первым важ­ ным результатом является следующая основная лемма, устанавлива­ ющая связь между геометрическими операциями над точками и алгебраическими операциями над соответствующими им числами. Л е м м а , а) Любую точку поля К можно построить циркулем и линейкой, исходя из совокупности точек А . п п пл х п п п п