* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПЕРЕВОД ЗАДАЧИ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ЯЗЫК 211 п+х б) Если переход от совокупности А к совокупности А состоит в добавлении тонки, полученной пересечением пары прямых, пары окружностей или прямой с окружностью, построенных на базе точек А , то либо R = К , либо k = f< {Vz) где число z принадлежит полю К и не является в нем полным квадратом. При этом для лю­ бого такого числа z можно построить циркулем и линейкой п п n+l п n+J n J п число Yв) Если переход от совокупности А к совокупности А состоит в добавлении точки, лежащей на данном отрезке пря­ мой или на данной дуге окружности, или в данной области плоскости, то эту точку можно выбрать так, чтобы было п п+1 z Рис. 3. Рис. 4. v n Д о к а з а т е л ь с т в о . Начнем с утверждения а). Пусть z . . . , z — все точки из совокупности А (которые, как и раньше, мы будем отождествлять с соответствующими комплексными числами). По опре­ делению ноля К любой его элемент получается из чисел t, z . . z в результате конечного числа операций сложения, вычитания, умножении, деления и взятия сопряженного числа. Поэтому доста­ точно установить следующий результат: если даны две точки х, у то с помощью циркуля и линейки можно построить точки — х \ п п x1 n у х+у; х; X " ; ху. (Возможность построить число / мы уже отме­ чали: напомним, что среди чисел z , z содержится единица — она б.ила выбрана из начальных данных.) Но этот результат проверяется вполне элементарно. В самом деле, для построения точки — х нужно провести через О и х прямую и циркулем отложить отрезок о г О до JC на этой прямой но другую сторону от точки О (рис. 3). Для построения точки х-\~у нужно провести через точку х прямую, параллельную Оу, а через точку у — прямую, параллельную Ох (рис. 4). Их пересечение и даст х + _у, если эти прямые не совпадают, т. е. если точки х, у, О не лежат на одной прямой. Если же зги три точки лежат на одной прямой, v n 1