* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

206 О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ которые можно осуществить, и в описании алгоритма, который даег возможность решить всякую конкретную задачу или узнать, что эта задача неразрешима, является по существу алгебраическим; это ре­ шение не могло быть достигнуто до появления необходимых алгебра» ческих средств. Первое их появление датируется (1796 г.) знаменитой работой юного Гаусса о правильных многоугольниках, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Эта работа уже содержала в зачаточном виде основы новой алгебраической теории (позже раз­ витой замечательным французским математиком Эваристом Галуа, по имени которого ее называют теорией Галуа) для некоторых полей частного вида, причем эти алгебраические рассмотрения представляли собой как раз наиболее глубокую часть работы. Таким образом, теория построений по существу состоит из трех частей. Первая — чисто геометрическая — должна заключать в себе анализ понятия «построение с помощью циркуля и линейки», с тем чтобы это понятие было определено четко и недвусмысленно. (Известно, например, что утверждение о невозможности построения трети за­ данного угла с помощью циркуля и линейки перестает быть спра­ ведливым, если разрешить некоторые приемы использования линейки ').) Эта первая часть подготавливает почву для второй, в которой за­ дача переводится на алгебраический язык и ставится в алгебраиче­ ских терминах. Этот перевод не является чисто механической пере­ фразировкой: он приводит к появлению новых математических объектов, которые затруднительно или невозможно было бы выразить на гео­ метрическом языке. С другой стороны, именно появление этих новых объектов позволяет в конце концов решить задачу. Наконец, третья часть теории является собственно алгебраической, наиболее глубокой и наиболее трудной: в ней решается алгебраическая задача, к кото­ рой была приведена соответствующая геометрическая задача — теория построений. § 1. Геометрическая часть теории 1.1. Постановка задачи. При строгом описании понятия «пост­ роение с помощью циркуля и линейки» следует ясно представить себе ответ на три вопроса: а) Что мы хотим построить? б) Каковы исходные данные? в) Какими средствами мы можем пользоваться? Прежде всего будем иметь в виду, что все наши построения проводятся на выбранной раз навсегда плоскости. Для ответа на первый вопрос нужно проанализировать имеющиеся в нашем распоряжении конкретные задачи. Этот анализ показывает. *) См. выше, стр. 1 6 7w