* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

186 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ построение среднего пропорционального х = \fab; двух данных отрезков: построение формулы: и т. д. Именно к этим построениям во многих случаях сводится приме­ нение алгебраического метода к реше­ нию задач на построение. Проиллюстрируем сказанное при­ мерами. Задача 1. Дан треугольник ABC. Провести прямую, параллель­ ную его основанию и делящую попо­ лам его площадь. Рис. 35. Решение. А н а л и з . Пусть ABC—данный треугольник (рис. 35) Предположим, что PQ — искомая прямая. Тогда в силу подобия тре­ угольников PAQ и ВАС имеем 5 Л APQ А Р Ъ 1 откуда АР= АВ V2- Это соотношение дает нам очень простое п о с т р о е н и е : делим отрезок АВ пополам (точка М) и строим прямоугольный равнобед­ ренный треугольник AMN (/_ AMN= 90°). Тогда гипотенуза AN последнего и даст искомый отрезок: AN = V MN* + МА* = . Откладываем от точки А отрезок AP=AN и проводим PQ\\BC. Д о к а з а т е л ь с т в о правильности описанного построения в обрат­ ном порядке повторяет рассуждения, проведенные в «анализе». И с с л е д о в а н и е тоже не представляет труда: решение, оче­ видно, всегда имеется, и притом единственное. Рассмотрим теперь более сложную задачу. З а д а ч а 2. Даны угол LMN (меньший 180°) и точка А на его биссек­ трисе MP. Требиется через данную точки А провести прямую так, чтобы точки ее пересечения со сторонами данного угла определили отрезок ВС данной длины а (задача Пап па). Анализ. Предположим, что задача решена (рис. 36). Опишем окружность около треугольника МВС. Точку пересечения биссектрисы с окружностью обозначим через D. Соединим точки В и D. Легко видеть.