* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

О ПОСТРОЕНИЯХ НА ОГРАНИЧЕННОМ 1 КУСКЕ плоскости 177 ных» инструментов можно выполнять ). Перечисленные же на стр. 167 «элементарные» операции, осуществимые с помощью циркуля и линейки, не включают такого использования линейки, которое при­ менено в описанном построении. Именно поэтому линейку с отмечен­ ными на ней двумя точками мы назвали «вставкой», чтобы подчерк­ нуть, что этот инструмент отличен от линейки. Как же быть с решением так называемых трансцендентных задач? Классическим примером такой задачи может служить задача о спрям­ лении длины окружности, т. е. о построении отрезка, длина которого равна 2яг,где г—радиус окружности, а я—отношение длины окруж­ ности к диаметру, — трансцендентное число. Данная задача не может быть решена не только с помощью обычного циркуля и линейки, но и с помощью эллиптического циркуля и вообще инструмента, чертя¬ щего алгебраическую кривую*). § 3. О построениях на ограниченном куске плоскости 3.1. Построения с помощью линейки ограниченной длины. При решении задач на построение мы всегда так или иначе ограничены в применяемых средствах построения. Выше мы подробно рассмот­ рели вопрос о тех ограничениях, которые накладываются выбором того или другого набора «чертежных инструментов». Однако могут встречаться и ограничения совершенно другого характера Ясно, например, что возможность неограниченного проведения прямых линий и окружностей, постулированная в классической по­ становке задачи о построениях «циркулем и линейкой», практически не может быть реализована, так как в нашем распоряжении всегда имеется лишь «линейка» ограниченной длины, позволяющая соединять отрезком две точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, не большем Л а также «циркуль» ограниченного раствора, позволяющий строить окружности не слишком малого и не слишком большого ра­ диуса (т. е. окружности, радиус г которых удовлетворяет условию a^r^by где а и Ь характеризуют возможности «циркуля» — длину его ножек и т. п.). Поэтому представляет практический интерес решение вопроса о построениях, которые можно производить «корот­ кой» линейкой и циркулем ограниченного раствора. ') Недаром у Евклида, от которого идет постановка вопроса о по строениях циркулем и линейкой, отсутствуют даже сами слова «циркуль» и «линейка», а лишь п о с т у л и р у е т с я возможность проводить прямые линии и окружности (постулаты I—3 Евклида; см. статью «Аксиомы и ос­ новные понятия геометрии» в этой книге ЭЭМ, стр. 15). ) Решение ее может быть получено только при помощи инструмента, чертящего трансцендентные кривые. В частности, для этой цели может служить прибор для вычерчивания кривых #=arccosjt, Q=axp (спираль Архимеда) и др. г 12 Энциклопедия, кв. 4