* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

178 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ Остановимся здесь дли примера на вопросе о возможности по­ строений с помощью линейки ограниченной длины. Именно мы дока­ жем, что конструктивные возможности линейки ограниченной длины нисколько не меньше конструктивных возможностей иде­ альной линейки неограниченной длины. Иначе говоря, если имеется набор инструментов, содержащий идеальную неограниченную линейку (и, возможно, еще другие инструменты, например циркуль), то, за­ менив в этом наборе идеальную линейку линейкой ограниченной длины /, мы получим новый набоо инструментов, эквивалентный прежнему, т. е позволяющий р е ш а т ь все задачи, разрешимые пер­ воначальным набором инструментов. Уточним прежде всего конструкти вные возможности идеаль­ ной линейки и линейки длины /. Именно мы считаем, что идеальная линейка позволяет проводить прямую че­ рез две точки,находящиеся на произволь97 ном (сколь угодно большом .) расстоянии друг от друга, т. е. позволяет соединить две точки отрезком и неогра­ ниченно продолжать этот отрезок за его концы в обе стороны. Что же можно делать при помощи линейки длины /? Естественно считать, что с помощью такой линейки можно во-первых соединять отрезком две точки, расстояние между которыми не превосходит /, и, во-вто­ рых, можно, последовательно перекладывая линейку, неограниченно продолжать любой отрезок в обе стороны (рис. 27). Объединяя обе возможности вместе, мы можем сказать, что линейка длины I по­ зволяет проводить прямую линию (неограниченную*.) через две за­ данные точки, расстояние между которыми не превосходит I . Для того чтобы доказать, что линейка длины / эквивалентна идеальной (неограниченной) линейке, достаточно убедиться в том, что с помощью линейки длины I можно провести прямую^ соеди­ няющую две точки А и В, расстояние между которыми больше I . Для этого нам понадобится следующая теорема, доказательство ко­ торой читатель может найти в статье «Геометрические преобразо­ вания» (стр. 114 этой книги ЭЭМ). Т е о р е м а . Дан угол MAN и точка Q, не лежащая на сто­ ронах этого угла. Через точку Q проведены три прямые, пере¬ секающие стороны угла в точках D , D , D , и соответственно Е , £' , Е (рис. 28). Обозначим через В точку пересечения прямых Р И С 1 t 2 8 х 2 г