* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ 175 вести через точку D перпендикуляр к прямой 0,0 (задача 5)—это и будет искомая радикальная ось. З а д а ч а 8. Даны прямая I, moHha М и отрезок г. Найти точки пере­ сечения прямой I с окружностью, имеющей центр М и радиус г. Р е ш е н и е . Выберем на прямой / произвольную точку Н и проведем прямую МН. На прямой МН отложим от точки М отрезок МР = г (зада­ ча 6). Теперь проведем через центр О окружности L прямую, параллель­ ную МН (задача 4) до пересечения в точке Р' с окружностью L . Далее, проведем прямые МО и РР' и обозначим через А их точку пересечения (рис. 25). Точку пересечения прямых АН и ОР' обозначим через / / ' . На­ конец, проведем через точку Н' прямую, параллельную / и, обозначив через В' и С точки пересечения этой прямой с окружностью L , проведем прямые АВ* и АС до пересечения в точках В, С с прямой /. Тогда В и С — искомые точки пересечения прямой и окружности. Для доказательства правильности этого построения заметим, что из соотношений ОР'\\МР, В'С\\1 вытекает подобие ряда треугольников с общей верши­ ной в точке А. В частности. £ МА НА СА 0А~Н'А~С'А 9 А и потому треугольники MAC ^° и О АС подобны. Следова­ тельно, МС МА ОС~ОА МР ~0Р'' с 2 о Так как ОС=0Р', то отсюда ™ вытекает, что МС = МР = г, т. е. точка С—искомая. Аналогично устанавливается, что MB = г. З а д а ч а 9. Найти точки пересечения двух окружностей, заданных своими центрами О,, 0 и радиусами г г. Р е ш е н и е . Построим радикальную ось I этих окружностей (задача 7). Если окружности пересекаются, то радикальная ось / является продол­ жением их общей хорды, т. е. прямая / проходит через точки пересече­ ния окружностей. Поэтому достаточно найти точки пересечения прямой / с одной из окружностей (задача 8). Очевидно, что из возможности решения задач 8 и 9 с помощью ли­ нейки (при условии, что в плоскости начерчена окружность L и задан ее центр О) и вытекает теорема Понселе—Штейнера. г и 2 2.4. О п о с т р о е н и я х с помощью иных наборов инструментов. В заключение э т о г о параграфа укажем некоторые результаты, каса­ ю щ и е с я применения д р у г и х наборов инструментов. В 1890 г. А в г у с т А д л е р д о к а з а л в о з м о ж н о с т ь решения в с е х задач на п о с т р о е н и е , разрешимых циркулем и линейкой, при помощи так называемой д в у с т о р о н н е й линейки (т. е. линейки с д в у м я парал­ лельными краями), или при помощи прямого или о с т р о г о угла (а с л е ­ д о в а т е л ь н о , и угольника). Таким образом, д л я решения всякой задачи на п о с т р о е н и е , раз­ решимой циркулем и линейкой, д о с т а т о ч н о о д н о г о из с л е д у ю щ и х