* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ 169 ние, разрешимая с помощью циркуля и линейки, разрешима также с помощью одного циркуля. Однако использование линейки позво­ ляет фактически провести прямолинейные отрезки, содержащиеся в искомой фигуре (если задача требует нахождения этих отрезков), в то время как построения одним циркулем определяют лишь концы таких отрезков. Следовательно, включение линейки по сути дела не расширяет числа задач, которые могут быть решены с помощью одного циркуля. Это положение было впервые высказано в книге датского математика Георга Мора «Датский Евклид», 1672 г., а затем в работе итальянского инженера Лоренцо Маскерони «Геомет­ рия циркуля», 1797 г. Иное доказательство этого же утверждения было дано в 1890 г. А. Адлером. Для доказательства теоремы Мора — Маскерони достаточно убедиться, что с помощью одного циркуля можно определить точку пересечения Рис. 13. Рис. i4. с этой целью преобразованием инверсии (см стр. 56 этой книги ЭЭМ), изложив доказательство теоремы Мора—Маскерони в виде решения сле­ дующих шести задач. З а д . ч а I . Даны три точки А, В, С. Найти точку С \ симметрич­ ную точке С относительно прямой АВ. Р е ш е н и е непосредственно получается проведением двух окруж­ ностей (рис. 13). З а д а ч а 2. Даны окружность L , ее центр О и произвольная точка А. Найти <почку М, в которую переходит точка А при инверсии относительно окружности L . Р е ш е н и е . Проведем через точку О окружность с центром А, и пусть В и С—точки пересечения этой окружности с окружностью L (рис. 14). Далее, проведем через точку О еще две окружности с центрами В и С. Тогда точка М пересечения двух последних окружностей и будет искомой. Доказательство правильности этого построения вытекает из того, что равнобедренные треугольники ОВМ и ОВА с общим углом О подобны и потому