* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

156 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Переходя теперь с помощью полярного отображения с центром Р от кони­ ческого сечения S к окружности S „ мы получим, что если через внутрен­ нюю (внешнюю) точку Р окружности S, проводить всевозможные секущие АВ, то сумма (разность) величин, обратных расстояниям точки Р до касатель­ ных а и Ь к окружности S, в точюх А и В будет постоянна. Читатель без труда самостоятельно отыщет'много других интересных примеров использования порожденного полярным отображением П «прин­ ципа перенесения». Содержательные применения имеет также связанный с подериым преобразованием Л «принцип перенесения», исследование ко­ торого мы полностью предоставляем читателю х ж 9.5. Принцип перенесения и модели геометрических систем. «Принцип перенесения» (точнее, любой из многочисленных «принци­ пов перенесения») позволяет сопоставить с каждым геометрическим предложением другое, совершенно новое предложение. Это новое предложение может быть проще первоначального, и тогда, доказав его, мы убедимся тем самым и в справедливости исходного предло­ жения. Но и Б том случае, когда новое предложение доказывается не более просто, чем исходное, мы не остаемся в проигрыше — ведь это предложение не надо доказывать самостоятельно, и, сформули­ ровав его, мы «даром» получим лишнюю геометрическую теорему. Однако «принцип перенесения» имеет и иное значение—он проливает дополнительный свет на самую сущность геометрии (или разных «геомет­ рий», которых, как мы теперь знаем, существует много). В самом деле, отвечающий «принципу перенесения» «словарь» служит для «перевода на новый язык» всех геометрических фактов и теорем. Полученное при таком «переводе» предложение может весьма сильно отличаться от исходного, однако так как его истинность следует из истинности исходного предложения автоматически, надо его считать лишь и н о й ф о р м о й того же самого предложения. Вели теперь мы приме­ ним наш «принцип перенесения» ко всем геометрическим фактам и теоремам, то мы получим некоторое видоизменение знакомой нам геометрии лишь внешне от нее отличающееся, но на самом деле полностью с ней совпадающее. Мы можем, например, в обычной геометрии Евклида называть «прямыми» окружности, проходящие через фиксированную точку О, а под «расстоянием» между двумя о АВ точками А и В понимать выражение дд ^ (см. «словарь» на стр. 144—145); при этом все геометрические теоремы сохраняют силу, т. е. мы будем иметь новую «модель» ) евклидовой геометрии. Так, по-прежнему можно будет утверждать, что, скажем, сумма квадра­ тов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы или что множество всех точек, равноудаленных от двух данных то­ чек, есть прямая линия, хотя все фигурирующие в этих теоремах геометрические понятия будут иметь новый, отличный от привычного нам смысл. Можно также называть «точками» прямые линии, а «прн1 ') О понятии модели см. статью «Аксиомы и основные понятия гео­ метрии» (стр. 21—27 этой книги ЭЭМ).