* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

140 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ § 9. Принцип перенесения 9.1- Введение. Вернемся теперь к определению обычной (евкли­ довой) геометрии по Клейну. Это определение утверждает, что движе­ нии (или движения и преобразования подобия) не меняют содержания теорем евклидовой геометрии, т. е. переводят каждый геометрический чертеж в полностью равноправный ему чертеж, из которого можно вывести лишь те же самые заключения, что и из первоначального чертежа. Последнее обстоятельство связано с тем, что наше преоб­ разование сохраняет неизменными все понятия и величины, имеющие геометрический смысл, —параллельные (или перпендикулярные) прямые оно переводит в параллельные (перпендикулярные) прямые, равные отрезки—в равные отрезки, сохраняет величину угла между двумя прямыми или отношения площадей двух фигур и т. д. Любое же о т л и чн о е о т п о д о б и я преобразование я уже не будет обладать этим свойством—оно исказит смысл геометрических понятий и, следова­ тельно, преобразует исходную геометрическую теорему в какое-то совершенно новое предложение. Это утверждение в старину часто формулировали, говоря, что каждо­ му (отличному от подобия!) преобразованию я отвечает свой п р и н ц и п п е р е н е с е н и я , позволяющий преобразовывать геометрические тео­ ремы в новые; мы здесь также воспользуемся удобным и выразитель­ ным термином: «принцип перенесения». Этот термин имеет следующий смысл. Преобразование я не сохраняет геометрических понятий, т. е. оно преобразует геометрические образы в новые, с точки зрения евклидовой геометрии отличные от исходных. Мы можем указать, как именно преобразует геометрические объекты заданное преобразо­ вание л; другими словами, мы можем составить отвечающий рассмат­ риваемому преобразованию «словарь», содержащий «перевод» всех геометрических понятий, так сказать, на новый «язык», другими словами,— таблицу, указывающую, во что именно переводит преобра­ зование я те или иные геометрические объекты. Этот «словарь» позволяет преобразовывать («переводить на новый язык») все гео­ метрические теоремы: в самом деле, из любого предложения, сфор­ мулированного в терминах обыкновенной евклидовой геометрчи, мы сможем получить новое предложение, заменив все входящие в исходную теорему геометрические понятия образами, в которые переводит их преобразование я . Для того чтобы пояснить это последнее утвержде­ ние, мы проиллюстрируем его на ряде достаточно разнообразных примеров; попутно мы увидим, каким богатейшим источником новых геометрических фактов и теорем могут служить геометрические пре­ образования.