* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НЕТОЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 139 прямая линия, окружность и т. д. Ясно, что приведенное в § 6 общее определение геометрии по Клейну сохраняет силу и в том случае, если под «геометрической фигурой» понимать не множество точек, а скажем, множество прямых; в этом случае и «движениями» соответствующей «геометрии» естественно назвать какие-то преоб­ разования в множестве прямых линий плоскости. Однако независимо от того, играют ли роль «движений», совмещающих между собой «равные» фигуры, преобразования в множестве точек или какие-то неточечные преобразования, определенное с помощью этих «движений» «равенст­ во» в том и только в том Г, случае будет удовлетворять условиям рефлексивности, симметричности и транзити­ вности (см. выше, стр. 102), если совокупность «движе­ ний» образует группу. Эго условие очерчивает круг «неточечных» геометрий, к числу которых принадлежат линейчатая геомет­ р и я (геометрия прямых ли­ ний) и к р у г о в а я г е о ­ м е т р и я (геометрия окруж ностей), являющиеся содер­ Рис. 83. жательными и хорошо изу­ ченными геометрическими дисциплинами. Ясно, что каждая «геомет­ рия» подобного рода задается указанием группы (неточечных!) пре­ образований, играющих в этой «геометрии» роль «движений». Так, основными ветвями геометрии окружностей являются в настоящее время «точечная геометрия окружностей», базирующаяся на группе точеч­ ных круговых преобразований, «осевая геометрия окружностей», в основе которой лежит группа осевых кругоьых преобразований, и «контактная геометрия окружностей», задаваемая группой касательных круговых пре­ образований '). При этом наша новая (более широкая!) точка зрения на геометрию приводит к необходимости несколько уточнить изложенную в предыдущем параграфе концепцию Клейна' теперь нам следует считать, что отдельные «геометрии» различаются не только группами преобразова­ ний, играющими роль «движений», но и выбором основного элемента «гео­ метрии»: так группа аффин ых преобразований может быть положена в основу «точечной аффинной геометрии» и «линейчатой аффинной геомет­ рии»; группа (точечных) круговых преобразований*—в основу «точечной аналагматической геометрии» и «круговой аналагматической геометрии» и т. д. ') Этим трем геометриям посвящены три части статьи в этой книге ЭЭМ. «Окружности»