* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

130 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ к ОВ прямой Ь. Предоставляем читателю проверить, как видоиз­ менится рис. 71, а, если точка А (или В) совпадает с О или является несобственной. Это свойство полярного отображения означает, что прямую а, рассматриваемую как ряд точек, отображение П переводит в точку А, понимаемую как пучок прямых; обратно, любой пучок прямых отображение П переводит в прямолинейный ряд точек (рис. 71,6). Важнейшим следствием наличия полярного отображения проек­ тивной плоскости является так называемый принцип двойственности проективной геометрии ). Этот принцип утверждает, что в форму­ лировке любой теоремы проективной геометрии на плоскости можно заменить всюду слово «точка» словом «прямая» и, наоборот; выражение «лежит на» выражением «проходит через», и наоборот; новая теорема также будет справедлива, если только была справедлива первоначальная теорема. В самом деле пусть мы имеем некоторую теорему проективной геометрии, относящуюся к расположению точек и прямых. Полярное отображение переводит выражающий эту теорему чертеж в новый чертеж, в котором роль точек уже будут играть прямые, а роль прямых точки; при этом точкам, принадлежащим одной определенной прямой /, будут отве­ чать прямые, пересекающиеся в точке L , отвечающей прямой /. Этот новый чертеж будет выражать иную теорему, которую можно наз­ вать «двойственной» первоначальной теореме. Ниже мы поясним эту общую схему конкретным примером. Пример применения полярного отображения доставляет нам так называемая Т е о р е м а Д е з а р г а . Если прямые АА ВВ и СС , соединяющие соответствующие вершины двух треугольников ABC и ABC пересекаются в одной точке О, то точки Л", L и М пересечения соответствующих сторон этих треугольников лежат на одной прямой (рис. 72, а). Для доказательства произведем полярное отоб­ ражение П с центром в точке О. При этом точки А и А перейдут в прямые а и а , перпендикулярные прямой ОАА и, следовательно, параллельные между собой; точки В и С и С также перейдут в прямые b и Ь || Ь с и с \\ с. Таким образом, треугольники ABC и А В С перейдут в новые треугольники с соот­ ветственно параллельными сторонами, образованные прямыми а, Ь с и а b , c Вершины этих новых треугольников мы обозначим через 1 г ХУ Х Х X X V х г х х х у х Х Х Х у и x v А', В\ С и А В\, С\ Так как П(А)= а, П ( £ ) = Ь, то прямая АВ переходит при полярном отображении в точку пересечения прямых а и Ь, т . е . П{АВ) = С' Аналогично П(А В ) = С . Следовательно, точка К пересечения прямых АВ и А В переходит в прямую и 1 1 1 Х Х 1 ) См. учеСники проективной геометрии, указанные с сьсске ) на стр. 110. 2