* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НЕТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1 121 преобразование (сводящееся, как мы знаем, к гомологии )), а £—симметрия относительно окружности (инверсия), или симметрия относительно пары парал­ лельных прямых (гиперболическая иизерсия), или же симметрия относительно (равнобочной) гиперболы или параболы. При этом симметрия относительно гиперболы или относительно параболы определяется в точности так же, как и симметрия относительно окружности: каждую внешнюю по отиоше нию к соответствующей кршюй К точку А она переводит в точку А пере­ сечения проходящего через А диаметра кривой К (т. е. прямой, соединяющей точку А с центром О гиперболы или параллельную оси параболы *)) с прямой, соединяющей точки Р и Q прикосновения с кривой К проведен­ ных к /С из точки А касательных, а точку А' переводит в А \ точки кривой К при симметрии относительно К остаются на месте (ср. рис. 62,с.б с рис. 9 иа стр. 56). Геометрическое описание всех кубических преобразований плоскости (а тем более произвольных бирациональных преобразований), аналогичное этому описанию квадратичных преобразований, до сих пор неизвестно. 9 § 8. Неточечные отображения 8 Л . Примеры неточечных преобразований. К понятию точечного отображения мы пришли, считая, что аргумент х и значение у ф у н к ­ ции у = / ( * ) являются не числами, как э т о чаще всего приходится считать, а точками. Столь ж е законно, однако, считать, что в обо­ значении функции у= f(x) под х и у понимаются не точки, а иные геометрические объекты, возможно д а ж е объекты разной природы. На этом пути мы приходим к б о л е е о б щ е м у понятию ( н е о б я з а ­ т е л ь н о т о ч е ч н о г о ! ) геометрического преобразования, например преобразования а' =Ф(а) в м н о ж е с т в е прямых линий, п е р е в о д я щ е г о к а ж д у ю прямую а в новую (или ту ж е самую) прямую а', или пре­ образования 2 / = Ф ( 2 ) в множестве о к р у ж н о с т е й , п е р е в о д я щ е г о о к р у ж ­ ность 2 в о к р у ж н о с т ь можно также рассматривать, с к а ж е м , о т о б р а ж е н и я , п е р е в о д я щ и е о к р у ж н о с т и в точки (например, 0 = Ф ( 5 ) , г д е О есть ц е н т р окружности S ) , точки в прямые (ср. ниже стр. 128) переводит все точки «бесконечно удаленной» прямой х = 0 в центр инверсии 0(0, О, I ) , а гиперболическая инверсия (23) переводит все точки «беско­ нечно удаленной» прямой х„ = 0 в одну «бесконечно удаленную» точку А (1, 0, 0) (отвечающую направлению оси инверсии о), а все точки оси о инверсии, имеющей уравнение х = 0 — в д р у г у ю «бесконечно удаленную» точку A (0 1, 0) (отвечающую перпендикулярному о направлению) {Мы отмечали выше, что желание рассматривать инверсию или гиперболическую инверсию как п р е о б р а з о в а н и я плоскости приводит к необходимости совсем иного пополнения плоскости «идеальными» элементами, отличного от того, с которым связано понятие проективной плоскости.] Можно дока­ зать, что единственными бирациональными преобразованиями, областью дей­ ствия которых служит вся проективная плоскость, являются линейные преобразования (20). Аналогично этому единственными преобразованиями (114), областью действия которых служит круговая плоскость, задаваемыми рациональными функциями F ( ? ) комплексного переменного z (см. выше, стр. 78)» являются дробно-линейные преобразования (16). ) См с н о с к у ) на стр. 117¬ *) См. статью о конических сечениях в следующей книге ЭЭМ. 0 х 2 t t 1 2