* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

112 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ за о б л а с т ь о п р е д е л е н и я гомологии Г следует принять п л о с ­ к о с т ь с и с к л ю ч е н н о й п р я м о й q. Прямые, пересекающиеся в некоторой точке А лежащей на прямой 0, переводятся гомологией в непересекающиеся (параллельные!) прямые; при этом совокупность всех проходящих через точку А прямых переходит в пучок (со­ вокупность) параллельных между собой прямых (см. рис. 57). С другой стороны, если точка В такова, что = м'м" где /? — точка пересечения MB с о, то OB'\\RM и, следонагельно, не существует точки В, переходящей в т о ч к у В' Отсюда вытекает, что область з н а ч е н и й гомологии Г представляет собой плоскость с исклю­ ченным из нее геометри­ ческим местом всех таких точек В' т. е. п л о с ­ кость с исключен­ ной п р я м о й 0,, гомотетич ной о с цен тром гомотегии М' и коэффиу 1 у Рис. 57 ЦИентОМ ГОМОТеТИИ М'О тм'гп . Таким образом, гомология не является п р е о б р а з о в а н и е м пло­ скости, поскольку ее область определения и область значений не совпа­ дают (в этом и заключается та нестрогость в определении гомологии, о которой мы упомянули вначале). 7.2. Проективная плоскость. Затруднения, связанные с тем, что гомология не является преобразованием, могут быть устранены, если считать, ч т о каждую точку А прямой q гомология Г переводит в некоторую «идеальную» или «несобственную» точку А'\ при этом придется считать, что параллельные между собой прямые, в которые переходят прямые, пересекающиеся в точке А «сходятся» в этой фиктивной точке А' (точку А' часто называют также «бесконечно удаленной» точкой')). При этом естественно условиться, что все «несобственные» или «бесконечно удаленные» точки плоскости при­ надлежат одной «несобственной» или «бесконечно удаленной» пря­ мой q\ в которую переходит при гомологии прямая q. К этим «несобственным» точкам плоскости надо добавить еще одну «несоб­ ственную» точку Z, в которой «сходятся» параллельные между собой ч •) Это связано с тем, что, как легко видеть, при стремлении переменной точки А к прямой q образ Г (А) этой точки неограниченно удаляется.