* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

108 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ в евклидовой геометрии, так и в «геометрии» группы В, но нарушающейся в «геометрии» группы доставляет так называемая т е о р е м а Б о й я и — Г е р в и н а: любые двг равновеликих многоугольника риьносоставлены, т. е. могут быть разбиты на соответственно «равные» многоугольные части ') 6.4. Группы преобразований в физи<е. В заключение настоящего параграфа отметим, что определение геометрии по Клейну, выдвигающее на первый план понятие о геометрических преобразованиях, которые сохраняют интересующие нас свойства фигур (т. е. играют роль «движе­ ний» соответствующей «геометрии»), находит своеобразное отражение и в физике. Вспомним так называемый п р и н ц и п относительности Г а л и л е я , играющий фундаментальную роль в механике и утверждаю­ щий, что никакие физические экспер тенты, производимые внутри механи­ ческой с /стемы, не мо?ит позволить обнаружить равномерное и прямолиней­ ное движение этой системы. В В силу этого принципа, про­ изводя какие угодно опыты, скажем, на корабле, двигаю­ ЬА6С<*> ЬА'В'С' щемся в постоянном направле­ нии с неизменной скоростью, мы не сможем обнаружить ни­ каких эффектов, обязанных своим происхождением движе­ нию корабля. Из принципа относительности Галилея сле­ дует, что все изучаемые физи­ кой свойства сохраняются при «преобразованиях» физической системы, состоящих в прида­ нии ей постоянной по величине и направлению скорости (эти «преобразования» называются п р е о б р а з о в а н и я м и Г а л и л е я ) . Иными словами, «физические свой­ ства» тел можно описать как такие свойства, которые не меняются при преобразованиях Галилея (ср. с определением «геометрических свойств» как таких, которые сохраняются при движениях, стр. 99). Принципу относительности Галилея можно придать «геометриэированную» форму, совершенно непосредственно связывающую его с определением геометрии по Клейну. Предположим, для простоты, что мы ограничиваемся физическими процессами, которые можно считать происходящими в одной плоскости, например изучаем движения физических тел на ограниченном участке земной поверхности, который можно мыслить себе плоским. Рассматриваемую плоскость мы отнесем к декартовым прямоугольным координатам (х, у); при этом, скажем, механическое движение материаль') См. в кн. V ЭЭМ статью «о равносоставленности многоугольников и многогранников Тот факт, что эта теорема сохраняет силу v геометрии группы 5 , составляет содержание так называемой теоремы Х а д в и г е р а — Г л ю р а В «геометрии» группы ^ т е о р е м а Бойяи — Гервина заменяется сле­ дующей: для того чтобы два равновеликих многоугольника М и М' были рхвносистчвлены. неоЗходсмо и достаточно, чтобы сумма [ориентированных]) длт сторон М. параллельных каждой прямей i плоскости, была равна сумме (ориент 1рованнчх) дллн параллельных I сторон М' (см. В. Г. Б о л т я и с к и й , Равновеликие и равносостанленные фигуры; М.. Гостехиздат, 1936; здесь используется то, что в «геометрии» группы $ можно для отрезков любого фиксированного направления / ввести понятие «длины отрезка»).