* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 97 Заменив теперь х и у в определении обратной функции т о ч ­ к а м и (при этом роль самой функции будет играть геометрическое отображение), мы придем к понятию обратного отображения. Пусть Ф — некоторое взаимно однозначное отображение с областью определения Л и областью значений Л'. Тогда, как мы знаем, для любой точки А' области значений Л* найдегея р о в н о о д н а точка А области Л, для которой Ф(А) = А' (это и есть определение в з а и м н о о д н о з н а ч н о г о отображения). Эту точку А называют прообразом точки А' при отображении Ф и обозначают симво­ лом Ф~ (А'). Таким образом, с каждой точкой А' области Л' conoCTJBляется определенная точка А=ф~ (А') области Л. Тем самым мы приходим к новому отображению Ф " с облдетью определения Л' и областью значений Л. Это отображение и называется обратным для отображения Ф. Так, например, функция у= sin х осуществляет 1 1 1 взаимно однозначное отображение отрезка Л = —~o"i-o~ действи­ тельной оси на отрезок Л'=[—1, I ] . Поэтому определено о б р а т ­ н о е отображение отрезка А' на отрезок А; это обратное отображе­ ние обозначается символом arcsin. В геометрии особенно интересен случай, когда Ф есть преобразо­ вание с областью действия Л. Так как Ф взаимно однозначно, го определено обратное отображение Ф " , которое, очевидно, также является преобразованием с той же областью действия Л. Это пре­ образование Ф ~ ' называется обратным преобразованием для пре­ образования Ф. Так, например, обратным для параллельного переноса на вектор ММ' является перенос на (противоположный!) вектор М М (ибо если АА' = ММ', то А'А = М' М)\ обратной для гомотетии с центром О и коэффициентом к является гомотетия с тем же цент­ 1 1 ром О и коэффициентом ~г [ если прямой с коэффициентом ~ . -тгк^к, то 7777 =-г) ; обратным для сжатия к прямой о с коэффициентом к является сжатие к той же 5.2. Инволюции. Особую роль в геометрии играют такие преобразова­ ния, которые о б р а т и ы с а м и с е б е (другими словами, такие преобра­ зования Ф, которые вменяют местами» пары точек: если Ф ( Л ) = Л'. то Ф (А') = А). Примерами таких преобразований являются* симметрия отно­ сительно точки, симметрия относительно прямой, инверсия (в частности, симметрия относительно окружности; см. стр. 56), гиперболическая инвер­ сия (в частности, симметрия относительно пары параллельных прямых; см. стр 59). Такие преобразования называют инволю/пивными преобразова­ ниями или инволюциями ) (ино да их называют также симметриями). 1 ') Латинский термин involutio означает скрученное состояние молодых листьев. Это — единственный термин, оставшийся в геометрии от замеча­ тельного математика X V I I в., создателя проективной геометрии Ж. Д е ­ з а р га, использовавшего в своем трактате массу новых терминов, как пра­ вило заимствованных из ботаники. 7 Энциклопедия. К. 4 Н