* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

98 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 1 Взаимно обратные преобразования Ф и Ф * можно определить еще как такие, произведение которых, взятых в любом порядке, представляет собой тождественное преобразование (их общей области действия). В част­ ности, тождественным преобразованием является «квадрат» Ф любого инволютнвного преобразования Ф. В самом деле, преобразования Ф и ф - ' таковы, что из Ф(А) = А' следует ф- {А ) = А , и поэтому 2 1 ФФ- (Л')=Ф(Л)=Л', - , , Ф~ Ф(А)=Ф- (А') 1 1 = А, - 1 т. е. ни преобразование Ф Ф , ни преобразование ф ф жения точек в их общей области действия <А не меняют поло­ § 6. Общее определение геометрии. Группы геометрических преобразований 6-1. Предмет геометрии. Учение о геометрических преобразова­ ниях сыграло важную роль в оформлении наших взглядов на сам предмет геометрии. Оно лежит в основе одного из самых распростра­ ненных общих определений геометрии, позволяющего разобраться в сущности сходства и огличий между различными ветвями этой обширной математической дисциплины. Для того чтобы прийти к по­ добному определению «геометрии», понимаемой в широком смысле этого слова, нам надо будет прежде всего остановиться на вопросе о содержании обычной геометрии Евклида. В средней школе говорят, что предметом геометрии является изучение свойств геометрических фигур. При этом «геометрическую фигуру» можно описать как какую-то совокупность точек; труднее ответить на вопрос о «свойствах», которые интересуют гео'метра. Ясно, что здесь речь идет не о всех вообще свойствах, какие только можно придумать; гак, цвет фигуры, вопрос о том, начерчен ли тре­ угольник белым по черному (мелом на доске) или черным по белому (карандашом в тетради) вовсе не рассматривается на уроках геомет­ рии. Поэтому, для того чтобы уточнить данное выше описание геометрии, необходимо уяснить себе, чем характеризуются г е о м е т ­ р и ч е с к и е свойства фигур. Для того чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к тем задачам, которые решаются в геометрии, прежде всего к задачам на построение, являющимся типичными для этого предмета. Из школь­ ного курса хорошо известно, что для того, чтобы задача на пост­ роение треугольника имела определенное решение (возможно, не­ сколько решений, скажем, два или четыре), надо задать т р и незави­ симых элемента треугольника, например три стороны или две стороны и угол; два элемента, вообще говоря, определяют бесконечно много треугольников, а четыре произвольно заданных элемента—ни одного. Однако утверждение о том, что существует е д и н с т в е н н ы й треугольник с заданными длинами л, Л, с сторон, строго говоря, не верно: на самом деле таких треугольников можно найти беско-